Устойчивость работы цифровых сау

Линейная цифровая система считается устойчивой, если ограниченному внешнему воздействию соответствует ограниченная реакция.

Условие устойчивости для цифровых систем записывается в виде

где - переходная составляющая движения.

1. Корневой критерий устойчивости.

Из теории линейных непрерывных систем известно: если все полюсы передаточной функции расположены в левой половине p – плоскости, то система устойчива. P – плоскость и z – плоскость связаны преобразованием

отсюда следует, что и

В левой половине p – плоскости <0, поэтому Мнимая ось

p - плоскости отображается в единичную окружность на z - плоскости при , а область внутри этой окружности соответствует всей левой половине p-плоскости.

Таким образом, выполнимость условия (1) обеспечивается, если , где - корни характеристического уравнения системы.

Формулировка критерия:

«Для того чтобы цифровая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы модули корней характеристического уравнения системы были меньше 1».

Система находится на апериодической границе устойчивости, если в её характеристическом уравнении

a₀zⁿ + a₁z^n-1 + …+ a_n = 0

имеется корень , а остальные корни располагаются внутри круга единичного радиуса. В этом случае переходная составляющая решения разностного уравнения с течением времени стремится к значению .

Если в характеристическом уравнении имеется пара комплексных сопряженных корней, расположенных на окружности единичного радиуса, то имеет место колебательная граница устойчивости. В этом случае с течением времени в системе устанавливаются незатухающие периодические колебания. Вещественная часть корней может быть положительной, отрицательной или нулевой.

Типичной для дискретных систем является граница устойчивости третьего типа, которой соответствует наличие в характеристическом уравнении корня .

2. Критерий Михайлова.

Пусть известен многочлен знаменателя дискретной передаточной функции цифровой САУ , где , - корни характеристического уравнения системы.

Если корень характеристического уравнения располагается внутри круга единичного радиуса, то при изменении от до . Если вне круга, то , , T – период квантования сигналов.

Будем рассматривать .

Формулировка критерия Михайлова:

«Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от 0 до характеристический вектор имел приращение аргумента , где n – степень характеристического уравнения системы».

Кривая Михайлова должна поворачиваться на угол n.

Если имеются полюсы на окружности единичного радиуса( =1), а все остальные – внутри круга, то цифровая система находится на границе устойчивости. Если это полюс =+1, то цифровая система называется нейтральной.

Цифровые системы первого и второго порядка, в отличие от непрерывных систем такого же порядка, могут быть неустойчивыми даже при положительных коэффициентах характеристического уравнения. Это объясняется тем, что фиксатор, содержащийся обычно в контуре цифровой системы, вносит дополнительное отставание по фазе.

Пример.

(система устойчива)

D( )-кривая Михайлова