Дискретное преобразование Лапласа
Для решетчатых функций введено понятие дискретного преобразования Лапласа в соответствии с формулой
. (3)
Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение:
.
(4)
В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина p=c+jω, где с – абсцисса абсолютной сходимости. Если с, то ряд, определяемый формулами (3,4), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение.
Z–преобразование
Z–преобразование
вытекает из дискретного преобразования
Лапласа путем введения новой переменной
.
Z–преобразование есть изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами
,
.
Способы перехода от непрерывных моделей к дискретным:
Применение Z – преобразования к решетчатой импульсной переходной функции со следующей цепочкой переходов (точный способ):
Замена производных дифференциального уравнения, описывающего объект, приближенными разностями:
и т. д.;
Данный способ дает приемлемую точность только при малых T.
Приближенный способ, предложенный А.Тастеным и называемый билинейным преобразованием, состоит в замене оператора p в передаточной функции соотношением
т.е.
Если
для данной решетчатой функции f[n]
существует такое положительное число
R, что при |z|>R
ряд
(5)
сходится, то =1/R называют радиусом сходимости.
Функция
внутри круга сходимости (т.е. круга в
плоскости z с центром в
начале координат и радиусом равным )
будет аналитической функцией, а ряд (5)
будет рядом Лорана. Коэффициенты ряда
f[nT] выражаются
через
следующим образом:
.
Формулы преобразования могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде
F(z)=Z{f(t)}, t=nT, n=0,1,2,… .
В
рассматриваемом пространстве введена
единичная импульсная решетчатая функция
Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как - функция (функция Дирака) в непрерывных системах.
Основные свойства и теоремы z-преобразования
Свойство линейности.
Изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений.
.
Теорема запаздывания.
Рассмотрим решетчатую функцию f[n-m], сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Если обозначить n-m=r, то
Z{f[n-m]}=
=
=
.
Если исходная
решетчатая функция f[n]
равна нулю при отрицательных значениях
аргумента, то Z{f[n-m]}=
.
Сдвиг по временной области.
Если
имеет z-преобразование
,
то
,
,
где n – положительное целое число.
Доказательство.
По
определению
,
что может быть записано как
.
Предполагая, что равно нулю при t < 0, получим последнее выражение в виде
.
Для доказательства второго равенства запишем:
.
Изображение разностей.
Для первой обратной разности
.
Если для отрицательных
аргументов решетчатая функция тождественно
равно нулю, то
.
Для k-й обратной разности при f[n]0 для n<0
,
.
Определение обратной разности и неполной суммы (или прямой разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору p=c+jω в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (z-1)z-1, а во втором случае – оператор (z-1). В случае перехода к пределу при T0 обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывной функции.
Теорема о конечном значении решетчатой функции.
«Если
функция f(t)
имеет z
– преобразование F(z)
и если функция
не
имеет полюсов на окружности единичного
радиуса |z|=1
и вне её на z
– плоскости, то при исследовании систем
управления, в которых используются
обратные разности, справедливо равенство:
».
Доказательство.
Рассмотрим два ряда с конечным числом членов:
полагая, что f(t)=0 при t<0 и, следовательно, f(-T) равно нулю, запишем выражение второго
ряда
.
Сравнивая эти выражения, видим, что второй ряд может быть записан как
Определим
в пределе при
разность между выражениями:
В
последнем выражении возьмём предел при
,
тогда
Меняя порядок перехода к пределу в последнем выражении и учитывая, что
получим
что и является доказательством теоремы о конечном значении.
Пример. Конечное
значение единичной функции
определяется следующим образом:
.
Теорема о начальном значении решетчатой функции.
«Если
функция f(t)
имеет z
– преобразование F(z)
и если существует предел
то
».
Доказательство.
По определению F(z) можно представить в виде
.
Возьмём предел от каждой части последнего выражения и, учитывая, что z стремится к бесконечности, получим
Пример.
.
Разложение в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z).
.
Разложив любым способом изображение F(z) в ряд Лорана:
,
и, сравнивая два ряда между собой, можно
установить, что
,
,
,…,
и т.д.
Решение разностных уравнений.
Более удобны для решения разностные уравнения вида
с начальными
условиями
,
.
Изображение
решетчатой функции y[n-m],
запаздывающей на m тактов,
будет 
.
Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (m-1), (m-2),…, 1 тактов.
В случае нулевых
начальных условий
.
Если предположить, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю при n < 0 и, кроме того, функция f[n] в правой части прикладывается в момент времени n=0, то переход к изображениям дает
.
Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде
,
где W(z) - дискретная передаточная функция.
Пример 1.
Определить z - изображение единичной ступенчатой решетчатой функции ed[n] при T=1c.
ed(t)
– производящая функция, преобразование
по Лапласу которой Led(t)=
.
;
;
.
Используем
формулу суммирования убывающей
геометрической прогрессии
,
где
-
знаменатель прогрессии,
тогда 
.
Для бесконечно убывающей прогрессии n,
тогда
.
Знаменатель прогрессии
.
Тогда
для |z|>1 
.
Пример
2. Задана решетчатая экспонента
,
где - постоянная,
в общем случае комплексная величина,
T=1c.
;
;
;
;
знаменатель
прогрессии q=z-1
.
Для |z| > e-αT
,
где d=e-αT.
NN n. n. |
w(t) |
w(nT) |
W(p) |
W(z) |
1 2 . . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
