Вычисление определенных интегралов.

Как известно определенный интеграл, имеющий вид с пределами интегрирования a и b, можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс x, ординатами a и b, графиком подынтегральной функции f(x).

Обыкновенный определенный интеграл, у которого известна его первообразная F(x), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: I = F(b) – F(a), т.е. достаточно вычислить значения функции F(x).

Численное интегрирование применяется в тех случаях, если нахождение F(x) сложно или вообще невозможно. Оно заключается в интерполяции – нахождении по ряду данных значений функции промежуточных ее значений – f(x) на отрезке [a,b] подходящим полиномом, для которого определенный интеграл вычисляется по формулам численного интегрирования. Обычно отрезок [a,b] разбивается на m частей, к каждой из которых применяется соответствующая простая формула. Таким образом, получают составные (или сложные) формулы численного интегрирования.

 метод прямоугольников – простейший метод, при котором функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом нулевого порядка:

. (9)

Но из-за невысокой точности метод почти не используется (хотя, есть еще модифицированный метод прямоугольников).

 метод трапеций заключается в линейной аппроксимации – приближенном выражении каких-либо величин через другие, более простые величины – f(x) на отрезке [a,b]. Для уменьшения погрешности отрезок [a,b] разбивается на m частей длины h=(b-a)/m. С учетом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a,b] обобщенная формула метода трапеций имеет вид:

(10)

У этого метода также невысокая точность.

 метод Ньютона-Котеса основан на интерполяции функции f(x) в n промежутках полиномом Лагранжа. В общем случае f(x) должна задаваться (n+1) ординатами. Формулы интегрирования точны, если f(x) – многочлен n-ой степени (при n=1 приходим к методу трапеций). Интерполяционный полином Лагранжа при произвольном расположении узлов в общем случае сводится к вычислению y(x)=L_n(x) с помощью интерполяционного полинома, имеющего вид:

(11)

 метод Симпсона (метод парабол) – частный случай метода Ньютона-Котеса при n=2. При разбиении отрезка [a,b] на m равных отрезков получается обобщенная формула Симпсона:

(12)

Выражение для остаточного члена показывает, что формула Симпсона точна, даже если функция f(x) - многочлен третьей степени. Что объясняет довольно частое использование этого метода.

 метод Гаусса основан на интерполяции функции f(x) полиномом Лагранжа, но абсциссы x_i выбираются из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции. При этом интеграл подстановкой сводится к виду:

(13)

Метод Гаусса обычно обеспечивает повышенную точность, последняя формула верна для полиномов до степени (2n-1). Для n=3 A₁=5/9 t₁=-1/3 A₂=8/9 t₂=0 A₃=5/9 t₃=1/3. Остаточный член при этом равен:

Для повышения точности интегрирования отрезок [a,b] дробится на m частей.

 метод Монте-Карло заключается в использовании случайных чисел для моделирования различных объектов, ситуаций и физических явлений, реализации игр (подобных игре в карты) и др.

Равномерно-распределенные случайные числа обычно генерируются ЭВМ в отрезке значений [0; 1], причем любое значение в этом интервале равновероятно. Обычно для этого используется отделение дробной части от сложного арифметического выражения, содержащего предшествующее число . Например, может использоваться соотношение вида:

(14)

где k = 8t ± 3 и t – нечетное целое число (при t = 5 k = 37 или k =43). Обычно перед использованием датчика случайных чисел задается начальное значение V_о на отрезке [0; +1]. Задание разных V_о позволяет формировать различные последовательности случайных чисел. В действительности получаются «квазислучайные» числа, т.е. спустя некоторое количество циклов последовательность чисел повторяется. Количество неповторяющихся чисел находится в пределах от нескольких тысяч до сотен тысяч.

Перевод равномерно-распределенных случайных чисел на отрезке [a; b] производится с помощью формулы :

(15)

Случайные числа с различными законами распределения получают с помощью формул преобразования (см. [29, 30]).

Случайные числа с нормальным распределением могут быть получены с помощью формул:

(16)

(17)

При этом получается сопряженная пара чисел, имеющих среднее значение = 0 и среднеквадратичное отклонение σ = 1. При других значениях и σ производится пересчет по формуле:

(18)

Обобщенный алгоритм реализации метода Монте-Карло (рис.) обеспечивает моделирование работы объекта и вычисление основных статистических характеристик его функциональных параметров.