Компьютерное моделирование в физике.

Можно выделить четыре направления использования компьютеров в физике:

- численный анализ. Применим, если нужно всего лишь решить систему уравнений, до которых была сведена физическая задача, особенно он удобен при большом наборе переменных. В этом случае в рабочую программу закладываются необходимые физические законы. Численный анализ применим для решения сложных дифференциальных уравнений, вычисления многомерных интегралов, больших матриц.

- символьные или аналитические преобразования – следующий шаг в решении задач. В памяти компьютера уже имеется программа решения квадратного уравнения, дифференцирования, интегрирования, разложения в степенной ряд, и «физику» остается лишь задать правильные физические (математические) уравнения, расчеты по которым машина «выполнит сама».

- моделирование. В этом случае в программу закладываются все основные законы рассматриваемой модели с минимальным анализом. Моделирование необходимо (а может уже и незаменимо) при невозможности постановки реального эксперимента, многократной повторяемости однотипных операций. К тому же не все задачи удается решить аналитическими методами. Поэтому можно поступить следующим образом: заложить правила решения, а именно, физические законы в программу для компьютера, промоделировать большое число вариантов и вычислить вероятности. Можно при помощи ЭВМ выяснить вопрос типа «что будет, если изменить какой-либо параметр?» Надо заметить, что компьютерное моделирование за последние несколько десятилетий помогло открыть новые упрощающие физические принципы.

Все три вышеназванных способа требуют некоторых приближений и допущений, но именно моделирование требует минимального предварительного исследования и понимания сути физического явления. Также компьютеры используются на этапах прогнозирования аппаратуры, управления ею в ходе эксперимента, для до сбора и обработки информации. Всем этим вопросам будут посвящены практические занятия.

- управление в реальном времени. Эти задачи качественно отличаются от предыдущих, требуют программирования в реальном времени, стыковки вычислительного оборудования с разнообразными типами установок, поэтому в данном курсе рассматриваться не будут.

Принцип использования численного моделирования.

Надо заметить, что степень развития ПЭВМ достигла такого уровня, при котором стало возможным их применение для решения не только физических, химических и прочих задач по отдельности, но и сложных технических, научных, инженерных проблем в целом.

Большинство используемых аналитических средств подходит для изучения линейных задач, однако же, большинство природных процессов имеют нелинейный характер. Поэтому к ним не применимы аналитические методы, пригодные для линейных процессов с их допущениями и приближениями. Другая причина заключается в том, что нас интересуют системы либо со многими переменными, либо со многими степенями свободы (что , в принципе, одно и то же). Компьютерное моделирование «делает естественным» выражать научные законы в виде правил для компьютера. Некоторые физики пришли к мысли о создании компьютеров, способных более эффективно моделировать физические системы. Вычислительный эксперимент имеет много общего с лабораторным экспериментом.

Таблица.

Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментом.

Лабораторный эксперимент Вычислительный эксперимент

образец модель

физический прибор программа для ЭВМ

калибровка прибора тестирование программы

измерение расчет

анализ данных анализ данных

Последовательность моделирования.

• разработка идеализированной модели рассматриваемой системы (в данном случае – физической);

• определение процедуры или алгоритма для реализации данной модели на компьютере;

• моделирование компьютерной программой физической или иной системы и описание вычислительного эксперимента, который служит мостом между лабораторными экспериментами и теоретическими расчетами.

Таким образом, можно получить точные результаты, моделируя идеализированную модель, у которой нет лабораторного аналога, что есть самое заманчивое для теоретиков. Но можно моделировать и на реалистичной модели для осуществления более прямого сравнения с лабораторными экспериментами.

Повторимся еще раз: численное моделирование не заменяет размышление, а помогает объяснять природные явления так, чтобы их суть была бы понятна каждому.

Особую важность имеет графическое представление результатов. Графическая информация дает большую наглядность полученных данных, причем, чем более сложные численные данные, тем полезнее визуальное их представление. Дело в том, что по виду табличных данных нельзя однозначно судить о характере процесса, графическое же представление результатов работы всегда дает ясную картину об изучаемом процессе (объекте). К тому же, использование графических средств может улучшить наше понимание характера аналитических решений.

Обычно рабочие программы стараются писать в виде модулей, представляющих собой подпрограммы, выполняющие конкретные задачи. Если программу легко читать и понимать, то это, по всей видимости, неплохая программа.

При построении программы используют два принципа: дедуктивный – от общего к частному – и индуктивный – от частного к общему. При дедуктивном подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. В этом варианте при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Индуктивный способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем – синтез. В этом случае широко используются подобие, аналогичное моделирование, умозаключения с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Иными словами индуктивное моделирование можно представить как:

1 – эмпирический этап:

- умозаключения

- интуиция

- предположения

- гипотеза;

2 – постановка задачи для моделирования;

3 – оценки, количественное и качественное описания;

4 – построение модели.

В заключении к вводной части можно добавить, что компьютерное математическое моделирование использует практически весь аппарат современной математики. В данном курсе предполагается знание студентами таких основ математики, как:

 теория дифференциальных уравнений;

 аппроксимация функций (включая интерполяцию и среднеквадратичные приближения);

 аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве;

 математическая статистика;

 численные методы:

- решения алгебраических и трансцендентных уравнений;

- решения систем линейных алгебраических уравнений;

- интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши).