15.2. Пряма на площині та її рівняння

Теорема 9.2. Множина алгебраїчних ліній першого порядку є множина прямих.

Пряма на площині геометрично може бути задана різними способами:

• точкою і вектором, паралельним даній прямій;

• двома точками;

• точкою і вектором, перпендикулярним даній прямій, та ін. Різним способам задання прямої відповідають у прямокутній системі координат різні види її рівнянь.

15.2.1. Різні види рівнянь прямої на площині

Якщо пряма не перпендикулярна до осі Ох, то рівняння прямої можна записати так:

або .

Позначивши , , одержимо рівняння прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт, або рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (див. приклад 15.6).

Відношення називається кутовим коефіцієнтом прямої, причому кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута, утвореного прямою з додатним напрямом осі абсцис, тобто , де і є кут, утворений прямою з додатним напрямом осі Ох. Величина є ординатою точки перетину прямої з віссю ординат і називається початковою ординатою прямої. Якщо пряма проходить через початок координат, то і рівняння такої прямої матиме вигляд .^

Нехай пряма проходить через точки і , тоді оберемо за напрямний вектор , який матиме координати . Отримаємо рівняння , що носить назву рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Якщо , то пряма паралельна вісі Оу і має рівняння . Якщо , то пряма паралельна вісі Ох і має рівняння .

Н енульовий вектор , який є перпендикулярним до даної прямої , називається нормальним вектором цієї прямої. З множини усіх нормальних векторів прямої ( а їх безліч, вони всі паралельні і, значить, мають пропорційні координати) виберемо один. Візьмемо на прямій , що проходить через точку , довільну точку і введемо вектор (рис. 15.9). Оскільки вектор лежить на прямій , то він перпендикулярний до нормального вектора, а отже, їхній скалярний добуток дорівнює нулю, тобто – рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Розкриємо дужки в останньому рівнянні і утворений числовий доданок позначимо буквою С, в результаті отримаємо рівняння , яке називається загальним рівнянням прямої.

Виходячи з позначень коефіцієнтів в загальному рівнянні прямої, можна отримати нові формули для знаходження кутового коефіцієнта та початкової ординати прямої, за умови, що . Отже, і .

15.2.2. Взаємне розташування прямих на площині

Варіантів взаємного розміщення двох прямих та на площині може бути лише три: або вони суміщаються, або паралельні, або перетинаються під різними кутами, зокрема, є перпендикулярними.

Нехай прямі задані загальними рівняннями (рис. 15.10) : А₁х+В₁у+С₁=0, : А₂х+В₂у+С₂=0. Тоді кут між прямими знаходиться за формулою , умова паралельності цих прямих має вигляд , а умова перпендикулярності (див. приклад 15.7).

1 5.3. Рівняння Кола

Колом^ називається множина точок площини, рівновіддалених від даної точки, яка називається центром кола.

Складемо рівняння кола радіуса з центром в точці . Візьмемо на даному колі (рис. 15.11) довільну точку , значить, , тобто за формулою 8.15. , отже, отримали рівняння: , яке називається канонічним рівнянням кола радіуса з центром в точці , бо це рівняння задовольняють координати будь-якої точки кола, і не задовольняють, якщо дана точка цьому колу не належить. Дійсно, якщо точка лежить всередині кола, то , і якщо – зовні, то . Значить, рівняння є рівнянням кола радіуса з центром в точці (див. приклад

Якщо центр кола знаходиться на вісі абсцис, тобто якщо , то рівняння кола набуває вигляду . Якщо ж центр кола знаходиться на вісі ординат, тобто якщо , то рівняння кола набуває вигляду . Нарешті, якщо центр кола знаходиться в початку координат, тобто якщо , то рівняння кола набуває вигляду .



Приклади

П риклад 15.1. Вектори і є діагоналями паралелограма . Виразити вектори , , і через вектори і .

 Нехай О – точка перетину діагоналей (рис. 15.6).

Оскільки і вектори і мають протилежні напрями, то . Аналогічно . Оскільки і вектори і мають однакові напрями, то . Аналогічно . Із рівності випливає, що .

Аналогічно



Приклад15.2. Визначити модулі суми та різниці векторів , .

 Знаходимо за формулою (8.19) координати векторів і :

За формулою (8.13) дістаємо:



Приклад 15.3. Знайти вектор , колінеарний вектору .

 З необхідної і достатньої умови колінеарності векторів маємо . 

Приклад 15.4. Дано точки і . На прямій знайти точку М, яка ділить відрізок у відношенні .

 Використаємо формули поділу відрізка в даному відношенні:



Приклад 15.5. Знайти довжину вектора , якщо , , кут між векторами і дорівнює .

 Маємо . Звідси . Тому



Приклад 15.6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку і утворює з додатнім напрямом вісі Ох кут .

 Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої за означенням . Замінивши у формулі (9.9) і координатами точки , одержимо або . 

Приклад 15.7. Знайти кут між прямими і .

 прямі задані загальними рівняннями, тому для знаходження кута між ними використаємо формулу, в якій покладемо , тобто

,

значить .

Приклад 15.8. Скласти рівняння кола радіуса з центром в точці .

 Маємо: . Підставивши ці значення в рівняння (10.2), знайдемо . 

	Питання для самоперевірки

1. Що називається і як позначається вектор, його довжина, напрям?

2. Який вектор є одиничним, нульовим? Запишіть позначення цих векторів?

3. Коли вектори є рівними, протилежними, колінеарними, компланарними?

4. Дайте визначення суми, різниці векторів та добутка вектора на число.

5. Напрямні косинуси: визначення та обчислення.

6. Які дії з векторами називаються лінійними? Запишіть формули, за якими в ДПСК вектори додаються, віднімаються та множаться на число.

7. За яких умов вектори вважаються рівними та колінеарними?

8. Як обраховуються координати точки, що ділить відрізок в заданому відношенні?

9. Дайте визначення скалярного добутку векторів. Які алгебраїчні та геометричні властивості він має? В чому полягає геометричний зміст скалярного добутка? Запишіть скалярний добуток через координати векторів, які множаться.

10. Запишіть відомі вам рівняння прямої.

11. Як визначити варіанти розташування прямих?

12. Виведіть рівняння кола.



Вправи

1. Дано сторони трикутника , , . Знайти довжину висоти, проведеної з вершини В.

2. Скласти рівняння бісектрис кутів між прямими .

3. Дано рівняння висот трикутника АВС: , і координати вершини . Скласти рівняння сторін трикутника.

4. Скласти рівняння прямих, які проходять через точку і утворюють з прямою кут .

5. Дано сторони трикутника : , , . Скласти рівняння висоти трикутника, опущеної на сторону АС, користуючись рівнянням пучки прямих.

6. Знайти гострий кут, утворений з віссю ординат прямою, яка проходить через точки та .

7. Точки і є протилежними вершинами квадрата. Визначити координати двох інших вершин.

8. На вісі абсцис знайти точку, відстань від якої до прямої дорівнює 1.

9. Знайти прямі, що належать пучці і є перпендикулярними основним прямим пучки.

10. Знайти пряму, яка проходить через точку перетину прямих , та через точку .

11. Знайти пряму, яка проходить через точку перетину прямих , і паралельну вісі абсцис.

12. Перевірити, чи є трикутник із сторонами , , рівнобедрений, і знайти кут при його вершині.

13. Дано послідовні вершини паралелограма: , , . Знайти кут між його діагоналями та показати, що цей паралелограм є прямокутником.

14. Дано вершина трикутника і рівняння медіан: та . Знайти координати двох інших вершин трикутника.

15. Скласти рівняння гіпотенузи прямокутного трикутника, яка проходить через точку , якщо катети трикутника розташовані на осях координат, а площа трикутника дорівнює 12 кв. од.

16. Скласти рівняння трьох сторін квадрата, якщо четвертою його стороною є відрізок прямої , кінці якого лежать на координатних вісях.

17. Побудувати коло:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

18. Скласти рівняння кола, якщо

1) коло має центр в точці і проходить через точку ;

2) кінці одного з діаметрів кола мають координати і ;

3) діаметром кола є відрізок прямої , що міститься між осями координат;

4) коло дотикається до осі абсцис в точці і проходить через точку ;

5) коло проходить через точки ;

6) коло проходить через точки .

19. Знайти координати центра і радіус кола:

1) ; 2) .

20. Знайти відстань між центрами кіл і скласти рівняння прямої, що проходить через центри: 1) і ; 2) і .

21. Переконайтеся, що чотири точки , , та є вершинами трапеції.

22. Дано координати вершин паралелограма ABCD: , , . Знайти координати вершини D.

* Мінімальна можлива кількість компланарних векторів – три.

 Зі шкільного курсу таке рівняння відоме як рівняння, що виражає пряму пропорційність.

 Коло з центром в точці радіуса прийнято позначати так: .

151