Властивості операції множення вектора на число

1. Дистрибутивність числового множника відносно суми векторів .

2 Дистрибутивність векторного множника відносно суми чисел . 3. Асоціативність .

Якщо вектор колінеарний вектору і , то існує дійсне число таке, що (див. приклад 15.1).

Для того, щоб операції над векторами звести до операцій над числами, розглядатимемо вектори в декартовій прямокутній системі координат.

15.1.3. Координати, довжина та напрямні косинуси вектора

Координатами вектора в системі координат Oxyz важаються його проекції на осі координат. Вектор є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда (рис. 15.6) з вимірами , , , тому довжина цього вектора дорівнює

.

Якщо початок вектора (рис. 15.7) міститься в точці , а кінець – в точці , то координати вектора можна знайти за формулою

.

А його довжина вектора обчислюватиметься за формулою:

.

Цією формулою користуються для знаходження відстані між точками А і В.

15.1.4. Лінійні дії з векторами. Рівність та колінеарність векторів

Якщо відомі координати векторів, то лінійним діям з векторами відповідають арифметичні дії над їхніми координатами (див. приклад 15.2).

Нехай задано вектори , і дійсне число , тоді:

,

.

Нехай вектори та рівні, тобто мають однакові довжини і напрям, тоді рівні і їхні відповідні координати .

Необхідною і достатньою умовою того, що вектори та колінеарні, є пропорціональність їхніх координат:

.

Дійсно, якщо вектори і колінеарні, то існує таке число , що , дістанемо рівності , з яких випливає необхідна і достатня умова колінеарності векторів (див. приклад 15.3).

15.1.5. Поділ відрізка в даному відношенні

Н ехай задано відрізок АВ точками і . Знайдемо на відрізку таку точку , яка ділить цей відрізок у відношенні , тобто . Введемо радіус-вектори (рис. 8.11) , , . Оскільки , і за умовою , то , звідки . Прирівнюючи проекції обох частин цієї рівності на осі координат, згідно умови рівності векторів маємо

.

Зокрема, координати точки, яка ділить відрізок АВ навпіл , знаходяться за формулами (див. приклад 15.4).

.

15.1.6. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів і називається число, позначене символом (або ), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто , де – кут між векторами і .

Теорема 15.1. Якщо вектори і визначені своїми декартовими прямокутними координатами , , то скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат, тобто .

Геометричні властивості скалярного добутку

1. Необхідною і достатньою умовою ортогональності двох векторів і є рівність нулю їхнього скалярного добутку , тобто добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці вектори взаємно перпендикулярні.

2. Два ненульових вектори і утворюють гострий (тупий) кут тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток додатний (від’ємний) або якщо і , то , коли – гострий, і , коли – тупий, причому кут між векторами і визначається за формулою (див. приклад 15.5).

3. Добуток позначається через і називається скалярним квадратом. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату довжини вектора, тобто , звідки , значить, довжина вектора визначається за формулою

.