13.2.4. Паралелепіпед
Паралелепіпед – це призма, основою якої є паралелограм (рис. 13.17). У паралелепіпеда всі грані – паралелограми.
|
|
|
Рис. 13.17 |
Рис. 13.18 |
|
Прямий паралелепіпед – це паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини його основи. Прямокутний паралелепіпед – це прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.
Властивості паралелепіпеда
1) у паралелепіпеда протилежні грані паралельні й рівні між собою;
2) кожний паралелепіпед має центр симетрії;
3) діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться пополам;
4) у прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних вимірів (рис. 13. 18):
,
отже, всі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою;
5) площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює подвоєній сумі площ трьох суміжних граней:
;
6) об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його лінійних вимірів а, b і с:
.
Куб
– це
прямокутний паралелепіпед з однаковими
лінійними вимірами
.
У кубі:
1) площа повної поверхні:
;
2) об’єм куба:
;
3) радіуси вписаної (r) та описаної (R) куль:
.
13.2.5. піраміда
13.2.5.1. Основні поняття
Пірамідою називається многогранник, утворений усіма відрізками, що сполучають дану точку – вершину піраміди, з точками плоского многокутника – основи піраміди (рис. 13.19). Кожна бічна грань піраміди – трикутник. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.
|
|
|
|
Рис. 13.19 |
Рис. 13.20 |
Рис. 13.21 |
|
Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається із центром цього многокутника. У правильної піраміди бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Правильний тетраедр – це правильна трикутна піраміда, у якої всі чотири грані – правильні трикутники.
На рис. 13.20 показано правильну піраміду. Її основа – квадрат ABCD, вершина піраміди – S, бічні ребра – SA, SB, SC, SD, центр основи – О, висота – SO, відрізки SK і SL – апофеми.
13.2.5.2. Зрізана піраміда
Для означення зрізаної піраміди використовують таку теорему: площина, що перетинає піраміду і паралельна її основі, відтинає подібну піраміду.
За цією теоремою площина , паралельна площині основи піраміди , перетинає піраміду, відтинаючи від неї подібну піраміду. Друга частина також є многогранником, який називається зрізаною пірамідою (рис. 13.21). Основи зрізаної піраміди – подібні многокутники, бічні грані трапеції.
Зрізана піраміда, утворена з правильної, також називається правильною. Бічні грані правильної зрізаної піраміди – рівні рівнобічні трапеції; їх висоти називаються апофемами.
13.2.5.1. Основні співвідношення
Нехай Н
– висота
піраміди; а
– апофема піраміди (
,
див. рис.
13. 21); р
– півпериметр основи; S
– площа
основи;
і
– площі бічної і повної поверхонь; V
– об’єм;
– периметри
і площі основ зрізаної піраміди. Тоді:
1) бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи і апофеми:
;
2) об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи і висоти:
;
3) площа бічної поверхні піраміди, у якої усі бічні грані однаково нахилені до площини основи:
;
де – кут нахилу бічної грані до площини основи (рівний куту SLO при основі на рис. 13.19);
4) у зрізаній піраміді:
5) у правильному тетраедрі:
де а – довжина ребра тетраедра, r і R – радіуси вписаної та описаної куль.
|
Приклади |
Приклад
13.1.
Дано куб
(рис.
13.22) із стороною, рівною а.
Знайти відстань і кут між мимобіжними
прямими, що проходять через діагональ
і
сторону CD.
Рис. 13.22
З рис.
13.22 видно, що прямі
і
CD
лежать
у паралельних площинах ABCD
і
.
Відстань
між цими площинами, яка дорівнює довжині
ребра куба а,
є відстанню між вказаними прямими.
Кут
між мимобіжними прямими
і
CD
дорівнює
куту
(45°),
оскільки сторона
цього
кута паралельна прямій CD.
Зауважимо,
що кутом між прямими
і
CD
можна
вважати кут BDC
або
будь-який інший кут із сторонами,
паралельними даним мимобіжним прямим.
Приклад 13.2. Знайти кут між бічним ребром і площиною основи трикутної піраміди, якщо всі її ребра рівні.
Рис. 13.23
PO
–
висота правильної трикутної піраміди
PABC
(рис. 13.23). Нехай
,
тоді
.
З прямокутного трикутника PАO
маємо:
.
Отже, даний кут дорівнює
.
Приклад
13.3.
Основою призми є правильний трикутник
із стороною а
(рис.
13.24). Бічне ребро b
нахилене
до площини основи під кутом
.
Знайти
площу бічної поверхні призми, якщо
відомо, що вершина верхньої основи А
проектується
в центр О
нижньої.
Рис. 13.24
Оскільки
А
,
то
за
теоремою про три перпендикуляри;
,
отже,
.
Таким
чином, бічна грань
–
прямокутник; CD
–
висота
;
.
З
прямокутного трикутника
маємо
.
З прямокутного трикутника
маємо
.
Нехай
,
,
тоді
,
.
Отже,
.
|
Питання для самоперевірки |
Які дві прямі називаються паралельними у просторі, а які мимобіжними?
Сформулюйте означення та ознаку паралельності прямої і площини.
Дайте означення паралельних площин. За яких умов дві площини є паралельними?
Запишіть теореми, які часто використовують під час розв’язування задач про паралельні площини.
Сформулюйте теорему про два перпендикуляри.
Що називається перпендикуляром, відстанню від точки до площини, похилою, основою похилої, проекцією похилої?
Дайте означення кута між прямою та площиною.
В чому полягає теорема про три перпендикуляри?
Які дві площини вважаються перпендикулярними?
За яких умов дві площини є перпендикулярні?
Що називається двогранним кутом, його гранями, ребром, а також лінійним кутом двогранного кута?
Дайте означення куту між площинами.
Що називається тригранним кутом, його гранями, ребром, а також двогранним кутом тригранного кута?
Який відрізок вважається спільним перпендикуляром мимобіжних прямих? Що являє собою відстань між мимобіжними прямими?
Дайте означення кута між мимобіжними прямими.
Що називається многогранником, його гранями, ребрами, діагоналями, вершинами?
Коли многогранник є опуклим?
Який опуклий многогранник є правильним?
Наведіть приклади відомих вам правильних многогранників, аналізуючи їх в такій послідовності:
якими правильними п-кутниками є грані;
скільки граней сходиться у кожній вершині;
кількість граней, вершин, ребер.
Дайте означення і запишіть властивості об’ємів тіл.
Опишіть за схемою (означення, основні поняття, види, властивості елементів, формули площ бічної та повної поверхонь і формулу об’єму) наступні многогранники:
призма;
паралелепіпед;
піраміда, зокрема і зрізана.
|
Вправи |
Знайти діагональ і бічну сторону рівнобедреної трапеції з основами 20 і 12 см, якщо відомо, що центр описаного кола лежить на більшій основі трапеції.
У рівнобедреній трапеції дані основи а = 21 см,
см і висота
см. Знайти радіус описаного кола.Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, поділяє його сторону на відрізки довжиною т і п. Визначити діагоналі ромба.
Дано квадрат, дві вершини якого лежать на колі радіуса
дві інші – на дотичній до цього кола.
Знайти довжину діагоналі квадрата.У ромб, що ділиться своєю діагоналлю на два рівносторонніх трикутники, вписаного кола радіуса 2. Знайти сторону ромба.
З однієї точки проведені до кола дві дотичні. Довжина кожної дотичної 12 см, а відстань між точками дотику 14,4 см. Визначити радіус кола.
З точки А проведені дві прямі, що стосуються дотикаються до кола
в точках В
і
С
так,
що трикутник АВС
– рівносторонній. Знайти його площу.Величина одного з кутів паралелограма дорівнює
,
а менша діагональ
см. Довжина перпендикуляра, проведеного
з точки перетину діагоналей до більшої
сторони, дорівнює
см. Знайти довжини сторін і більшої
діагоналі паралелограма.Один з кутів трапеції дорівнює 300, а прямі, що містять бічні сторони трапеції, перетинаються під прямим кутом. Знайти довжину меншої бічної сторони трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см, а одна з основ 8 см.
У паралелограмі
висота, проведена з вершини В
тупого кута на сторону
,
ділить її у відношенні 5:3, рахуючи від
вершини
.
Знайти відношення
якщо
Знайти діагональ і бічну сторону рівнобедреної трапеції з основами 20 і 12 см, якщо відомо, що центр описаного кола лежить на більшій основі трапеції.
У рівнобедреній трапеції дані основи
см,
см і висота
см знайти радіус описаного кола.Висота ромба, яка проведена з вершини тупого кута, поділяє його сторону на відрізки довжиною т і п. Визначити діагоналі ромба.
