13.1.4. Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Теорема 13.8 (ознака перпендикулярності площин). Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Рис. 13.8

Теорема 13.9. Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна до другої площини (рис. 13.8).

13.1.5. Кут між площинами

Нехай дві площини перетинаються. За аксіомою вони перетинаються по прямій. Ця пряма ділить кожну площину на дві півплощини. Дві півплощини із спільною прямою, що їх обмежує, утворюють двогранний кут, причому півплощини називаються гранями, а пряма що їх обмежує – ребром двогранного кута.

Проведемо площину, перпендикулярну до ребра а двогранного кута (рис. 13.9). Вона перетинає грані двогранного кута по двом півпрямим с і d. Кут, утворений цими півпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута. За міру двогранного кута приймають міру відповідного йому лінійного кута.

Рис. 13.9

Кутом між площинами називається кут між прямими, що одержуються в перерізі двох даних площин третьою площиною, яка перпендикулярна лінії їх перетину (рис. 13.10). Означений кут між площинами не залежить від вибору січної площини.

Рис. 13.10

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю.

Рис. 13. 11

Тригранним кутом (abc) називається фігура, складена з трьох плоских кутів (ab), (bс) і (ас) (рис. 13.11). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони – ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

13.1.6. Відстань і кут між мимобіжними прямими

Спільним перпендикуляром до мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них (див. приклад 13.1).

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, що проходять через ці прямі (рис. 13.12).

Рис. 13.12

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між паралельними їм прямими, що перетинаються. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються.

13.2. Многогранники

Многогранником називається тіло, обмежене скінченною кількістю площин. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від кожної з площин, що обмежують його. Спільна частина поверхні опуклого многогранника і площини, яка його обмежує, називається гранню. Грані опуклого многогранника є опуклими многокутниками. Сторони граней многогранника називаються ребрами, а вершини – вершинами многогранника. Діагоналлю многогранника називається відрізок, що сполучає дві вершини, які не лежать в одній грані.

Прикладом опуклого многогранника є куб. У кубі , зображеному на рис. 13.13, – діагональний переріз.

Рис. 13.13