13.2.1. Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однаковою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться однакова кількість ребер.

Існує п'ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр (рис. 13.14).

Рис. 13.14

У правильного тетраедра грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. Тетраедр – це трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні між собою. У правильного тетраедра чотири грані, чотири вершини, шість ребер.

У куба всі грані – квадрати; у кожній вершині сходиться по три ребра. Куб – це прямокутний паралелепіпед з рівними між собою ребрами. У куба шість граней, дванадцять ребер, вісім вершин і чотири діагоналі.

В октаедра грані – правильні трикутники, але на відміну від тетраедра в кожній його вершині сходиться по чотири ребра. У октаедра вісім граней, шість вершин і дванадцять ребер.

У додекаедра грані – правильні п'ятикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. У додекаедра дванадцять граней, двадцять вершин і тридцять ребер.

В ікосаедра грані – правильні трикутники, але на відміну від тетраедра й октаедра в кожній його вершині сходиться по п'ять ребер. У ікосаедра двадцять граней, дванадцять вершин і тридцять ребер.

13.2.2. Об’єми тіл

Додатне число, яке характеризує частину простору, що займає тіло, називається об'ємом тіла.

Тіло називається простим, якщо його можна розбити на скінченне число трикутних пірамід. Зокрема, будь-який опуклий многогранник є простим тілом. Загальні властивості об’ємів тіл:

1) за одиницю вимірювання об’єму приймається об’єм куба зі стороною, рівною одиниці;

2) кожне просте тіло при заданій одиниці вимірювання має певний об’єм;

3) рівні тіла мають рівні об’єми, під час руху тіла його об’єм не змінюється;

4) якщо тіло розбито на частини, що є простими тілами, то об’єм тіла дорівнює сумі об’ємів цих його частин.

Тіла з рівними об’ємами називаються рівновеликими. Із властивості 4) випливає, що коли тіло з об’ємом міститься усередині тіла з об’ємом , то .

13.2.3. Призма

Призмою називається многогранник, утворений відрізками паралельних прямих між двома паралельними площинами, які перетинають плоский многокутник в одній з них. Грані призми, що лежать у цих площинах, називаються основами призми. Інші грані називаються бічними гранями. Всі бічні грані – паралелограми.

На рис. 13.15 зображено призму. Вона утворена відрізками паралельних прямих, які перетинають многокутник Р: у площині . Основами призми є многокутник Р і многокутник у площині , що дорівнює йому. Бічними гранями призми є паралелограми . Бічними ребрами призми є відрізки .

Рис. 13.15	Рис. 13.16

Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми. Діагональним перерізом призми називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані.

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. У супротивному разі призма називається похилою. Пряма призма називається правильною, якщо її основами є правильні многокутники.

Наведемо деякі формули для призм. Приймемо позначення: H – висота призми; Р – периметр основи; і – відповідно площа і периметр перпендикулярного перерізу; S, і – відповідно площі основи, бічної і повної поверхонь; l – довжина бічного ребра.

1. Бічна поверхня призми дорівнює добутку периметра перерізу призми площиною, перпендикулярною до її бічного ребра, і довжини бічного ребра l (рис. 13.16):

.

2. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи і висоти призми Н, тобто довжини бічного ребра l;

.

Повна поверхня призми складається з її бічної поверхні і площі двох основ: .

3. Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи і висоти, або добутку площі перпендикулярного перерізу і довжини бічного ребра:

або .