Ч ЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ

Підготовчий курс з математики

Тема 13. Основні поняття стереометрії. Многогранники

	довідковий матеріал

13.1. Основні поняття стереометрії

Стереометрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються властивості фігур у просторі. Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина.

13.1.1. Паралельність прямих і площин

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема 13.1 (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не належіть площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині (рис. 13. 1).

Рис. 13.1

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема 13.2 (ознака паралельності двох площин). Дві площини паралельні, якщо одна з них паралельна двом прямим, що лежать у другій площині і перетинаються (рис. 13.2).

Рис. 13. 2

Під час розв’язування задач про паралельні площини часто використовують наступні теореми.

Теорема 13.3. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Теорема 13.4. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні (рис. 13.3).

Рис. 13.3

Теорема 13.5. Відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні між собою.

13.1.2. Перпендикулярність прямої і площини

Теорема 13.6 (ознака перпендикулярності прямої і площини). Якщо пряма, що перетинає площину, перпендикулярна двом прямим у цій площині, які проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна площині (рис. 13.4).

Цю теорему прийнято називати теоремою про два перпендикуляри.

Рис. 13.4

13.1.3. Кут між прямою і площиною

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який не є перпендикуляром до площини й один кінець якого у даній точці, а другий – на площині. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї точки, називається проекцією похилої.

На рис. 13.5 з точки А проведено до площини перпендикуляр АВ і похилу АС. Точка В – основа перпендикуляра, точка С – основа похилої, ВС – проекція похилої АС на площину .

Рис. 13.5

Кутом між прямою називається кут між цією прямою і її проекцією на площину.

На рис. 13.6 зображена площина і пряма а, що її перетинає. Пряма є проекцією прямої а на площину . Тоді кут є кутом між прямою а та площиною .

Рис. 13.6

Теорема 13.7 (про три перпендикуляри). Пряма, проведена на площині перпендикулярно до проекції похилої, перпендикулярна до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої (рис. 13.7).

Рис. 13. 7