12.2.2. Довжина кола. Центральний кут і дуга кола

Відношення довжини кола до його діаметра є величина стала для всіх кіл; позначається грецькою буквою (читається "пі"). Число – число ірраціональне. Наближене значення .

Довжина L кола обчислюється за формулою: , де R і D – відповідно радіус і діаметр кола.

Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в його центрі. Частина кола, розміщена між сторонами плоского центрального кута, називається дугою кола.

Теорема 12.3. Градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного їй центрального кута, тобто . На рис. 12.11 центральному куту з градусною мірою п° відповідає дві дуги: з градусною мірою п° та з градусною мірою .

Рис. 12.11

Радіанною мірою даної дуги називається відношення довжини дуги кола до його радіуса: . Радіанна міра дуги дорівнює радіанній мірі відповідного їй центрального кута. Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Градусна міра кута в один радіан дорівнює .

Коло має радіанну міру радіан, тобто кут в радіан – це кут . Радіанна міра розгорнутого кута дорівнює , прямого .

Зв’язок між радіанною і градусною мірою кута задається формулами:

та .

Довжина дуги, яка стягує центральний кут ( радіан), обчислюється за формулою:

або .

12.2.3. Кути, вписані у коло

Вписаним у коло називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. На рис. 12.12 показаний вписаний кут а, що спирається на хорду ВС і на дугу .

Теорема 12.4. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається (рис. 12.12). Якщо вписаний кут тупий, то він доповнює половину центрального кута до 180° (рис. 12.13, ).

Рис. 12.12	Рис. 12.13

Теорема 12.5. Всі вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні між собою (рис. 12.14). Зокрема, всі вписані кути, що спираються на півколо, прямі (рис. 12.15).

Рис. 12.14 Рис. 12.15 Рис. 12.16 Рис. 12.17

Теорема 12.6. Кут між двома хордами, вершина якого лежить усередині кола (рис. 12.16), вимірюється півсумою відповідних дуг:

.

Теорема 12.7. Між відрізками, на які діляться дві хорди, що перетинаються (рис. 12.17), існує співвідношення:

.

Теорема 12.8. Кут, вершина якого лежить поза колом, а сторони перетинають коло (рис. 12.18), вимірюється піврізницею дуг, що лежать між його сторонами:

.

Рис. 12.18	Рис. 12.19	Рис. 12.20	Рис. 12.21

Теорема 12.8 має місце й тоді, коли сторони кута дотикаються до кола (рис. 12.19).

Теорема 12.9. Добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної тобто між дотичною і січною, проведеними до кола з однієї точки (рис. 12.20), існує співвідношення:

.

Теорема 12.10. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і дугу, яку вона стягує, навпіл (рис. 12.21), існує співвідношення:

,

.

12.2.4. Кола, вписані та описані навколо трикутника

Коло, описане навколо трикутника, – це коло, яке проходить через усі його вершини.

Теорема 12.11. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів до середин його сторін.

Коло, вписане в трикутник, – це коло, яке дотикається до всіх його сторін.

Рис. 12.22

Теорема 12.12. Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину його бісектрис.

На мал. 12.22 показано вписане у трикутник коло; його центром є точка перетину бісектрис. Радіус r вписаного кола обчислюють за формулами:

де R – радіус описаного кола; , , – кути, що лежать проти сторін а, b, с трикутника; р – півпериметр; S – площа трикутника.

Відстань AD між вершиною трикутника А і точкою дотику D до вписаного кола (на мал. 12.23 ) пов’язана з півпериметром р і довжиною сторони о співвідношенням .

Рис. 12.23	Рис. 12.24

Кути і , під якими видно сторону СВ трикутника p центра вписаного кола та з вершини А, пов’язані співвідношенням:

.

На мал. 12. 24 показано описане навколо трикутника коло; його центром є точка О – точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Радіус R описаного навколо трикутника кола обчислюють за формулами:

Відстань між центрами вписаного в трикутник і описаного навколо трикутника кола визначають за формулою Ейлера:

.