2. Конечные парные игры с нулевой суммой 2.1. Платежная матрица. Некоторые примеры конечных игр

Конечная игра nxm, описанная в нормальной форме, может быть представлена платежной матрицей, приведенной на рис. 1.4. Эле­ментами этой матрицы является пара чисел, первое из которых W¹_ij определяет величину выигрыша игрока 1 (игрока А) при применении этим игроком i-й стратегии, игроком 2 (игроком В) - j-й стратегии. Второе число W²_ij определяет выигрыш игрока 2 (игрока В) при при­менении игроками тех же стратегий. Для упрощения записи выигрыш игрока А при i-й стратегии игрока А и j-й стратегии игрока В обозна­чается ay, выигрыш игрока В при тех же стратегиях - by, сами страте­гии записывают в виде А и Вj, соответственно.

Как было отмечено в разделе 1 .3, существуют игры, в которых общая сумма выигрышей игроков равна нулю, т. е. выигрыш одного из игроков равен проигрышу (возможно и поражению) другого, т. е. нали­цо прямой конфликт между игроками. Такие игры называются играми с нулевой суммой или антагонистическими играми. В этих играх мож­но записать

a_ij + b_ij = 0, то есть a_ij = - by .

Рассмотрим парную конечную игру с нулевой суммой. Пусть игрок А располагает n личными стратегиями, которые обозначим A₁, A₂,..., A_n, игрок В - m личными стратегиями, обозначим их B₁, В_т. Говорят, что игра имеет размерность nxm. В результате выбора игро­ками любой пары стратегий А_у и Bj (i = 1,n, j=1,m) однозначно опреде­ляется исход игры, т.е. выигрыш ау игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-a_ij) игрока В. Предположим, что значе­ния ау известны для любой пары стратегий (A_i, Bj).

В такой ситуации, если игра представлена в нормальной форме, вполне достаточно исследовать платежную матрицу только игрока А, которая может быть представлена в виде, приведенном в табл. 2.1, ли­бо в виде матрицы А = {ау}, i = 1,n; j = 1,m, элементами которой явля­ются выигрыши a_ij, соответствующие стратегиям A_i и B_j.

Таблица 2.1

Платежная таблица игры nm Платежная матрица игры nxm

	В1	В2		В1		Bm
	an	a12		a1j
A2	a21	a22		a2j
Ai	Ai1	ai2		aij		aim
An	an1	an2		anj

a11

^a21

^a12 ^a22

Ai1 ai2

^an1 ^an2

^a1j

^a1n ^a2n

^aim

^anm

Рассмотрим несколько элементарных примеров игр.

Пример 2.1. Составим платежную матрицу для игры «поиск». Игрок А может спрятаться в одном из двух укрытий (I или II); игрок В ищет игрока А и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в про­тивном случае платит 1 ден. ед. игроку А.

Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение. Для составления платежной матрицы следует проана­лизировать поведение каждого из игроков.

Рассмотрим возможные стратегии игроков:

А₁ - игрок А прячется в укрытии I;

А₂ - игрок А прячется в укрытии II;

8₁ - игрок В ищет игрока А в укрытии I;

8₂ - игрок В ищет игрока А в укрытии II.

Рассмотрим комбинации стратегий сторон и определим соот­ветствующие выигрыши сторон:

А₁-В₁ - игрок А прячется в укрытии I и там его обнаруживает игрок В, игрок А платит штраф, т.е. а_и = -1.

А₁-В₂ - игрок А прячется в укрытии I, игрок В ищет его в укры­тии II и не находит его там, игрок А получает штраф, т.е. а₁₂ = 1.

А₂-В₁ - игрок А прячется в укрытии II, игрок В ищет его в ук­рытии I и не находит его там, игрок А получает штраф, т.е. а₂₁ = 1.

А₂-В₂ - игрок А прячется в укрытии II и там его обнаруживает игрок В, игрок А платит штраф, т. е. а₂₂ = -1.

Таким образом, для игры «поиск» размера 2x2 получаем пла­тежную матрицу

-1 1

А=

1 -1

Пример 2.2. Два игрока А и В, не глядя друг на друга, кладут на стол по монете вверх гербом или цифрой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны (у обоих герб или цифра), то иг­рок А забирает обе монеты; иначе их забирает игрок В. Требуется про­анализировать игру и составить ее матрицу, считая выигрыш монеты за +1.

Решение. Игра состоит только из двух ходов: наш ход (игрок А) и ход противника (игрок В), оба личные. Игра не принадлежит к играм с полной информацией, так как в момент хода игрок не знает, что сде­лал другой.

У нас две стратегии: А₁ - выбирать герб и А₂ - выбирать цифру; у противника такие же две стратегии: В₁ - герб и В₂ - цифра. Таким образом, данная игра есть игра 2x2.

Матрица игры приведена в табл.2.2.

Пример 2.3. Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга записывают каждый одно из трех чисел: 1 , 2 или 3. Если сумма

написанных чисел четная, то В платит А эту сумму в рублях; если она нечетная, то, наоборот, А платит В эту сумму.

Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу. Решение. Игра состоит из двух ходов; оба - личные. У нас (А) три стратегии: А! - писать 1; А₂ - писать 2; А₃ - писать 3. У противни­ка (В) - те же три стратегии. Игра представляет собой игру 3x3 с мат­рицей, приведенной в табл. 2.3.

Пример 2.4. В нашем распоряжении имеются три вида воору­жения: А_ь А₂, А₃; у противника - три вида самолетов: В₂, В₃. Наша задача поразить самолет; задача противника сохранить его непоражен­ным. При применении вооружения А! самолеты В₂, В₃ поражаются соответственно с вероятностями 0,9, 0,4, 0,2; при вооружении А₂ - с вероятностями 0,3, 0,6 и 0,8; при вооружении А₃ - с вероятностями 0,5, 0,7 и 0,2. Требуется сформулировать ситуацию в терминах теории игр.

Решение. Ситуация может рассматриваться как игра 3x3 с двумя личными ходами и одним случайным. Наш личный ход - выбор типа вооружения; личный ход противника - выбор самолета для участия в бою. Случайный ход - применение вооружения; этот ход может закон­читься поражением или непоражением самолета. Наш выигрыш равен единице, если самолет поражен, и равен нулю в противном случае. Нашими стратегиями являются три варианта вооружения; стратегиями противника - три варианта самолетов.

Среднее значение выигрыша при каждой заданной паре страте­гий есть не что иное, как вероятность поражения каждого самолета данным оружием. Матрица игры приведена в табл. 2.4.

Таблица 2.4

А	В!	В2	В3
А!	0,9 0,4 0,2 0,3 0,6 0,8 0,5 0,7 0,2
А3