6.4. Дележи в кооперативных играх. Принципы формирования справедливых решений. Аксиомы Нэша

После завершения кооперативной игры возникает вопрос о раз­делении общего выигрыша V({N}) между всеми ее участниками. Оче­видно, раздел может быть произвольным, но он должен удовлетворить каждую сторону, стремящуюся получить выигрыш не меньший того, который был бы получен в индивидуальных действиях. Пусть указан­ное разделение дало участникам выигрыши V₁,...,Vj,...,V_N. Если бы j-й участник действовал самостоятельно, то его результат оценивался бы величиной V({ 1 так как в этом случае речь шла бы о «коалиции» g { N}. Следовательно, вступать в коалицию целесообразно тогда, когда выполнено условие индивидуальной рациональности т.е. Vj > V({1}j).

Вектор Д = (V₁,...,V_n), удовлетворяющий требованиям £ⁿ = ₁Vj = V({N}) и Vj > V({1}j), j = 1,...,N, называется дележом в игре N

лиц с характеристической функцией V({N'}).

Одним из принципов решения этой задачи является принцип «справедливого дележа», связанный с попытками разрешить тот или иной конфликт путем арбитража, т. е. передачи права принимать окон­чательные решения некоему стороннему «арбитру». Этот принцип известен под названием аксиомы Нэша. Нэш указал ряд разумных до­пущений, названных впоследствии аксиомами Нэша, при которых ре­шение игры - оптимальный дележ V₁', V₂',... , V_n' - является единствен­ным. Эти допущения (предположения) формулируются следующим образом:

1 ) условие симметричности решения: величины V1', V2', ... , Vn' сохраняются неизменными при любой перестановке участников игры, т. е. решение не зависит от того, какие номера присвоены игрокам;

2. инвариантность относительно линейных преобразований, т. е. решение не зависит от монотонных линейных преобразований пла­тежей;

3. независимость от не имеющих отношения к делу альтерна­тив, т.е. решение не изменится, если исключить из рассмотрения те возможные выборы, которые не использованы в решении. Вывод: уча­стник (1< j < N), присоединяющийся к любой коалиции {N'}g {N}, но не приносящий ей пользы, ничего не выигрывает, т.е. Vj'=0 при V({N'})U{1}j )= V({N'});

4. оптимальность по Парето: не может быть решением такой набор платежей, помимо которого существует какой-либо другой на­бор платежей, более выгодный хотя бы для одного игрока.

Этими правилами (или аксиомами) может руководствоваться исследователь, изучающий конфликтные ситуации и принимающий на себя тем самым роль арбитра.

Корме рассмотренного подхода, существует ряд способов (под­ходов) определения или выбора справедливых дележей в кооператив­ных играх. Например, С-решения с применением понятия ядра игры, решения по Нейману-Моргенштерну (или НМ-решения) с применением идеи доминирования дележей, но на уровне множеств и др. Эти под­ходы к определению оптимального (предпочтительного) выбора деле­жей по-разному трактуют интересы конфликтующих сторон, но всегда указывают разумную основу для соглашений.

7. Элементы теории статистических решений

7.1. Постановка задачи

В рассмотренных в предыдущих разделах задачах предполага­лось, что в играх принимают участие два игрока, интересы которых либо противоположны, либо просто не совпадают. При этом счита­лось, что неопределенность исходов в большинстве рассмотренных задач может проявляться в результате сознательных действий других участников игры и каким-то образом может быть предсказана или спрогнозирована.

Во многих же задачах, приводящихся к игровым, неопределен­ность проявляется как результат действия тех или иных «стихийных сил» (непознанной природы). Такие игры называются играми с приро­дой. При этом термин «природа» может быть использован как в тради­ционном смысле, означающем окружающую среду, погодные условия в данном районе, так и условия рынка, определяющие спрос на опре­деленную продукцию, объем перевозок, некоторое сочетание произ­водственных факторов и т. д.

Человек (игрок А) в играх с природой старается действовать ос­мотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позво­ляющую получить наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Второй игрок В (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния.

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других - оно неизвестно. Условия иг­ры, как и в рассмотренных ранее задачах, задаются в виде матрицы

^a11 ^a12 ^{... a}1n

^a21 ^a22 ^{... a}2n

A=

i

i ^am1 ^am2 ^{... a}mn

Элемент a_ij равен выигрышу игрока А, если он использует стра­тегию A_i, а состояние природы - P_j.