1.5. Способы описания игр

Существует ряд способов описания и анализа конкретных игр.

Один из приемов описания игр состоит в том, что игра пред­ставляется в виде ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ДЕРЕВА (рис. 1.3), на кото­ром выделяются начальная вершина игры А, промежуточные вершины (позиции) и множество конечных вершин, отвечающих окончательным позициям игры, то есть указывается, какие ходы могут делать игроки, какой информацией во время игры они располагают, какие варианты можно выбирать и какими могут быть предельные размеры выигры­шей в конце игры.

Игра, описанная таким образом, называется игрой в РАЗВЕРНУТОЙ (ЭКСТЕНСИВНОЙ) ФОРМЕ. На рис. 1.3 показано дерево игры для упрощенной игры двух лиц в покер. В этой игре став­

ка каждого из игроков равна 5 долларам. После сдачи карт на руках у игроков остается определенное количество карт. Набор карт может быть либо старшим (С), либо младшим (М). У игрока 1 имеется две возможности: либо раскрыть карты (Р), либо повышать игру (В). При раскрытых картах старшая карта выигрывает банк; если карты игроков равны, то банк делится пополам.

Если игрок 1 повышает игру, то он вкладывает в банк еще 5 долларов. У игрока 2 после этого имеется 2 альтернативы: либо пасо­вать (П), либо уравнивать (У). Если он пасует, то игрок 1 выигрывает банк при любых картах. Если же игрок 2 уравнивает игру, то он вносит в банк еще 5 долл., после чего либо старшая карта выигрывает банк, либо при равных картах банк делится пополам. На дереве игры (рис. 1.3) изображены все возможные ситуации игры и указаны соот­ветствующие им платежи.

А

I

II

III

IV

V

Р

В Р

^А

П У

_{0 + * ,}

0 5 0 5

В Р

А

П У

\ \ ₅

5 10 -5

В Р

^А

П У

_{5 + 0}

5 -10 0

В

П У 5 0

Рис. 1.3. Дерево игры для игры в развернутой форме (на примере упрощенной игры двух лиц в покер со ставкой 5 долл.):

I - ход 1: определение ставок и сдача карт (случайный ход);

II - ситуация после сдачи карт: С-старшая, М-младшая;

3. - ход 2: игрок 1 либо раскрывает карты (Р), либо повышает игру (В);

4. - ход 3: Если игрок 1 повышает игру (В), то игрок 2 пасует (П)

или уравнивает игру (У);

V - выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2)

Другой способ описания игры состоит в том, что рассматрива­ются все возможные стратегии каждого игрока и определяются плате­жи, соответствующие любой возможной комбинации стратегии всех игроков.

Описанная таким образом игра называется ИГРОЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Нормальная форма игры двух участников может состоять из двух платежных матриц, показывающих, какую сумму получает каждый из игроков при любой из возможных пар стратегий. Обычно эти две матрицы выражают в форме единой матри­цы, показанной на рис. 1.4.

Элементами этой матрицы являются пара чисел, первое из кото­рых определяет величину выигрыша игрока 1, второе - игрока 2. Иг­рок 1 (чаще называют игроком А) выбирает одну из n стратегий, обо­значенных символами S¹₁, S¹₂,..., S¹_n; каждой стратегии соответствует строка матрицы. Игрок 2 (игрок В) выбирает одну из m стратегий S²_b S²₂ ,...,S²_m; каждой стратегии этого игрока соответствует столбец мат­рицы. Пара чисел на пересечении строки и столбца, которые соответ­ствуют стратегиям, выбранным игроками, показывает величину выиг­рыша каждого из них. Например, если игрок 1 (игрок А) выбирает стратегию S¹; (или А_;), а игрок 2 (игрок В) - S²j (или В^, то выигрыши игроков 1 и 2 равны, соответственно, W¹_ij и W²;j (i= 1,n; j= 1,m).

Стратегии игрока 2

^1ак

о

^рг

и и

_ги

е

^та _тр

С

С ^S1

s2

^S1

(wA,W1²1 ) K,w²)

^(W22' ^W22 ⁾

S²j

sn

(wi,W1²n) (w2n,W2²n)

few*) (wn2,Wn²2) . . . (wl,wi)

Рис. 1 .4. Платежная матрица для игры двух участников

Платежная матрица имеет размер nxm, где n - (конечное) число возможных стратегий игрока 1 , m - (конечное) число возможных стра­тегий игрока 2. Предполагается, что каждому из игроков известны все элементы платежных матриц.

Игра называется ИГРОЙ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ, если в ней нельзя делать одновременно несколько ходов и если результаты случайных ходов и предыдущих личных ходов полностью известны каждому игроку (игра в шашки, шахматы, в крестики-нолики). И, на­оборот, игра называется ИГРОЙ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ,

если игрокам неизвестны некоторые выборы, сделанные при случай­ных ходах. Например, игра в покер, в которой, прежде всего, неизвест­но, какие карты находятся на руках у противника.