- •Министерство образования российской федерации челябинский государственный университет миасский филиал с.С.Саитгараев
- •Учебное пособие
- •Isbn 5-7271-0505-6
- •1. Теоретические основы предмета "теория игр"
- •1.1. Предмет теории игр, ее цели и задачи
- •1.2. Основные понятия теории игр
- •1.3. Классификация игр
- •1.4. Предпочтение и полезность. Бинарные соотношения как средство описания предпочтительности исходов
- •1.5. Способы описания игр
- •1.6. Классификация и учет неопределенностей
- •2. Конечные парные игры с нулевой суммой 2.1. Платежная матрица. Некоторые примеры конечных игр
- •2.2. Нижняя и верхняя цена игры
- •2.3. Проблема равновесия в игре
- •2.4. Смешанные стратегии
- •3. Методы решения конечных игр в смешанных стратегиях 3.1. Постановка вопроса
- •3.2. Аналитический метод решения игры 2x2, 2хш и nx2
- •3.4. Общие методы решения конечных игр. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования
- •3.5. Приближенные методы решения игр
- •4. Методы решения некоторых бесконечных игр
- •5. Биматричные бескоалиционные игры 5.1. Постановка биматричных игр
- •5.2. Ситуации равновесия и поведение участников биматричных игр
- •5.3. Решение биматричных игр
- •5.4. Почти антагонистические игры
- •6. Биматричные коалиционные игры
- •6.1. Проблемы и формы кооперирования
- •6.2. Парето-оптимальные решения кооперативных игр. Модель игры с угрозами
- •6.3. Общие методы решения кооперативных игр. Характеристические функции
- •6.4. Дележи в кооперативных играх. Принципы формирования справедливых решений. Аксиомы Нэша
- •7. Элементы теории статистических решений
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Решение состязательных задач в играх с природой
- •7.3. Задача оптимизации систем в условиях неопределенности
- •Саитгараев Сабит Сагитович Элементы теории игр Учебное пособие
- •Задания по теме «Теория игр»
1.2. Основные понятия теории игр
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем или платежом.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход -это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Совокупность этих решений составляет его стратегию.
Стратегией игрока называется некоторый план или совокупность правил, по которым он совершает выбор решения при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Игра может быть определена следующим образом: 1 ) имеются n конфликтующих сторон (лиц), принимающих решение, интересы которых не совпадают;
заданы правила, определяющие выбор допустимых стратегий, известные игрокам;
существует точно определенный набор конечных состояний, которыми заканчивается игра (например, выигрыш, ничья, проигрыш);
заранее определены и известны всем игрокам платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию.
Для того, чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей наилучшей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей наилучшей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
При выборе оптимальной стратегии за основу рассуждений принимается предположение, что противник является, по меньшей мере, таким же разумным, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели. В теории игр все рекомендации вырабатывают, исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются элементы риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждого из игроков.
Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях. В этих случаях оптимальной стратегией называется та стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).
Если игра содержит, кроме личных, случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является его среднее значение (математическое ожидание).