6. Биматричные коалиционные игры

6.1. Проблемы и формы кооперирования

Игра называется коалиционной или кооперативной, если до на­чала игры или в процессе ее игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях с целью их коор­динирования и могут даже объединять усилия в надежде извлечь из этого выгоду.

Переход конфликтующих сторон к различным формам сотруд­ничества (кооперирования) создает качественно новые ситуации по сравнению с тем, что было рассмотрено в антагонистических играх.

Можно назвать три уровня взаимодействия, допустимого в коо­перативных играх с N участниками:

1 ) обмен информацией о ходе игры и складывающейся обста­новке;

2. совместный выбор стратегий на основе общей договоренно­сти и взаимной информированности;

3. объединение активных средств (ресурсов) с соответствующей координацией предпринимаемых действий.

Каждая ступень кооперирования предполагает передачу каких-то сведений одними участниками игры другим ее участникам.

Характер сведений трудно оговорить заранее вне связи с кон­кретной задачей, однако ясно, что они могут касаться и целевых уста­новок конфликтующих сторон, и их готовности пойти на компромисс, и непредвиденных обстоятельств, мешающих какой-либо стороне дос­тичь желаемого результата.

В дальнейшем будем предполагать, что сведения, которыми об­мениваются участники конфликта, имеют объективную ценность. Это позволит сосредоточить внимание на более высоких уровнях коопера­ции и соответствующих подходах к проблеме поиска решений.

6.2. Парето-оптимальные решения кооперативных игр. Модель игры с угрозами

В случае кооперативной игры двух лиц предполагается, что два игрока не могут воздействовать друг на друга, пока не придут к неко­торому соглашению. Таким образом, игра определяется как множество S в пространстве переменных V₁ и V₂, представляющее выигрыши иг­роков (рис. 6.1). Обычно предполагают, что множество S является замкнутым, выпуклым и ограниченным сверху.

Кроме того, заданы два числа Т1, Т2, определяющие величины выигрышей, которые каждый из игроков может получить, не вступая в коалицию с партнером. Точка Т с координатами (Т₁, Т₂) называется точкой угрозы.

парето-оптимальное множество

V1

На множестве возможных выигрышей выделяется множество парето-оптимальных решений, или парето-оптимальное множество т.е. множество точек, принадлежащих S, для которых увеличение вы­игрыша одного из игроков возможно только за счет уменьшения выиг­рыша его партнера. Очевидно, множество таких точек образует северо­восточную границу множества S (на рис. 6.1 - между двумя касатель­ными: вертикальной h₁ и горизонтальной h₂).

Все точки парето-оптимального множества, находящиеся одно­временно выше и правее точки угрозы Т, образуют так называемое переговорное множество. Очевидно, что игрокам нет смысла догова­риваться относительно решений, не принадлежащих переговорному множеству, либо потому, что положение одного из игроков может быть улучшено при сохранении положения его партнера и можно до­говариваться о более выгодных решениях, либо потому, что вне этого множества, по крайней мере, для одного из игроков теряет смысл вступать в коалицию со своим партнером - не худших результатов он может достичь и в одиночку.

Наконец, на переговорном множестве выделяется точка реше­ния Нэша N, в которой достигается максимум произведения превыше­ния выигрышей каждого из игроков над платежами, которые могут быть получены без вступления в коалицию:

max (V1 - T1) х (V2 - T2).

В теории игр доказано, что если множество возможных пла­тежей S выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то существует точ­ка Нэша N, представляющая одно из возможных решений коопера­тивной игры, от которого нет оснований отказываться ни одному из игроков, и эта точка единственна.

Проиллюстрируем введенные понятия на примере игры, назван­ной нами «Семейным спором» (прим. 5.3).

Можно показать, что если супруги будут придерживаться раз­личных несогласованных смешанных стратегий, множество возмож­ных выигрышей образует в системе координат значений выигрышей супругов V_b V₂ (рис. 6.2) треугольник ABC с вершинами в точках (0,0), (1,4), (4,1). V

^у м

4

1

3 2

3

Рис. 6.2

В этой игре в качестве выигрыша буде расс атривать удоволь­ствие, получаемое игроками (Мужем или Женой) от посещения одного из развлечений - футбола или балета.

Линия ВС является множеством парето-оптимальных решений; вдоль этой линии рост выигрыша, получаемого Женой, возможен только за счет снижения выигрыша Мужа. Точка Т с координатами (2, 2) является точкой угрозы в этой игре, а «угроза», например, со стороны Жены может звучать буквально следующим образом: «Вме­сто того, чтобы более 2/3 своего свободного времени проводить на этом футболе, я буду ходить на балет (с Мужем или без него - неваж­но) - ничего не потеряю». Аналогично может звучать «угроза» Мужа.

В итоге переговорное множество, образуемое точкой угрозы Т, представлено линией БЕ на парето-оптимальном множестве решений ВС. На линии DE Муж и Жена могут договориться, как часто они бу­дут бывать вместе на одном из зрелищ; но при этом, во избежание вза­имных угроз, ни одному из развлечений они не должны уделять более своих свободных вечеров.

Решение Нэша, когда произведение приростов выигрышей Му­жа и Жены по сравнению с выигрышем от независимого посещения футбола и балета максимально, представлено точкой N на рис. 6.2 -супруги договариваются половину своего свободного времени прово­дить вместе на балете, вторую половину - на футболе.