1.1 Общая математическая формулировка транспортной задачи

Задача о размещении (транспортная задача) - это задача, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи (ТЗ) является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Транспортная задача делится на два вида:

- транспортная задача по критерию стоимости - определение плана перевозок, при котором стоимость груза была бы минимальна;

- транспортная задача по критерию времени - более важным является выигрыш по времени.

Транспортная задача по критерию стоимости является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом. Однако в силу особенностей задачи, она решается проще.

Особенности экономико-математической модели транспортной задачи:

- система ограничений есть система уравнений (т.е. транспортная задача задана в канонической форме);

- коэффициенты при переменных системы ограничений равны единице или нулю;

- каждая переменная входит в систему ограничений два раза.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т. е. выполняется условие , называется закрытой моделью; в противном случае - открытой. Для открытой модели может быть два случая:

a) суммарные запасы превышают суммарные потребности ;

b) суммарные потребности превышают суммарные запасы

Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений.

Найти минимальное значение линейной функции при ограничениях:

, i = 1, 2, ..., m - (случай а)

, j = 1, 2, ..., n;

, i = 1, 2, ..., m - (случай b)

, j = 1, 2, ..., n,

x_ij ? 0 (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).

Открытая модель решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель Bn+1, потребности которого:

bn+1 =

В случае (b), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Am+1, запасы которого:

am+1 =

Стоимость перевозки единицы груза как фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится. После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычным способом. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика. Прежде чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо сначала проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого составить таблицу для ее решения. Однородный груз сосредоточен у т поставщиков в объемах. Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах. Известны (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)- стоимости перевозки единицы груза от каждого i-ого поставщика каждому j-ому потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны. Исходные данные транспортной задачи записываются следующим образом в приведенной нище таблице:

Таблица 1. Исходные данные транспортной задачи

	B1	B2	…	Bn
А1	c11	c12	…	c1n
А2	c21	c22	…	c2n
…	…	…	…	…
Аn	cm1	cm2	…	cmn

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются (i=1,…,m; i=1,2,…,n)- объемы перевозок от каждого i-ого поставщика каждому j-ому потребителю. Эти переменные могут быть записаны в матрице перевозок

Математическая модель транспортной задачи в общем случае имеет вид:

i=1,2,…,m, (1.1)

j=1,2,…,n, (1.2)

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. (1.3)

Целевая функция задачи выражает требования обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Первая группа из m уравнений (1.1) описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью. Вторая группа из n уравнений (1.2) выражает требования полностью удовлетворить запросы всех n потребителей. Неравенства (1.3) являются условиями не отрицательности всех переменных задачи.

Таким образом, математическая формулировка транспортной задачи состоит в следующем: найти переменные задачи i=1,2,…,m; j=1,2,…,n, удовлетворяющее системе ограничений (1.1), (1.2), условиям не отрицательности (1.3) и обеспечивающее минимум целевой функции.

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е. такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель - закрытой. Если же это неравенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель - открытой.

Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть с правильным балансом.