4.2 Решение задачи с помощью microsoft excel

Программным продуктом, незаменимым в офисной работе, является электронная таблица Microsoft Excel. При помощи этого продукта можно анализировать большие массивы данных. В Excel можно использовать более 400 математических, статистических, финансовых и других специализированных функций, связывать различные таблицы между собой, выбирать произвольные форматы представления данных, создавать иерархические структуры. Воистину безграничны методы графического представления данных: помимо нескольких десятков встроенных типов диаграмм, можно создавать свои, настраиваемые типы, помогающие наглядно отразить тематику диаграммы. Те, кто только осваивает работу с Excel, по достоинству оценят помощь "мастеров" - вспомогательных программ, помогающих при создании диаграмм.

Рисунок 1 - Создание общей таблицы

Рисунок 2 - Поиск решения

Рисунок 3 - Добавление ограничений

Рисунок 4 - Вывод целевой функции

5. Анализ результатов

При решении задачи были получены результаты удовлетворяющие условию:

Решая задачу математически, получили значения:

транспортный задача решение план

	7		12		4		6		5	180
		120	60
	1		8		6		5		3	350
110	90		20	130
	6		13		8		7		4	20
				20
110	90	120	80	150

Z=120*4+60*6+110+90*8+20*5+130*3+20*4=2240

При решении задачи в программе Excel получили значения:

Рисунок 5

В программе, созданной для решения задачи, получили тот же результат.

Соответственно можно сделать вывод, что задача была решена правильно.

6.​ Транспортная задача (ТЗ): метод потенциалов.

Транспортная задача

Одной из частных задач ЛП является транспортная задача (ТЗ), состоящая в наиболее рациональном закреплении станций отправления к станциям назначения. При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо стоимость перевозок требуемого количества груза, либо минимальное время его доставки. Важность этой задачи для практики и специфика получающихся ограничений позволили разработать более эффективные по сравнению с симплекс-методом алгоритмы решения. К ним можно отнести распределительный метод, метод дифференциальной ренты, метод потенциалов, венгерский алгоритм и т. д.

Существуют матричная и сетевая постановки транспортной задачи.

Для данной методики в качестве критерия оптимальности принимаем минимизацию стоимости всех перевозок.

Перейдем к более точной формулировке задачи.

Пусть наm станциях отправленияА₁, А₂, ... , А_m имеется соответственно а₁, а₂, ... , а_m единиц однородного груза. Этот груз необходимо доставить по железной дороге в n станций назначения В₁, В₂, ... , В_n . В каждую станцию назначения необходимо завезти соответственно b₁, b₂, ... , b_n единиц груза. Стоимость перевозки единиц груза (тариф, издержки, транспортные расходы) из станций отправления А_i на станцию назначения В_j считается известной и равной С_{i j}. Матрицу С = (С_ij) будем называть матрицей стоимостей (тарифов). Требуется составить такой план перевозок X = ( х_{i j} ), при котором общая (суммарная ) стоимость транспортных издержек будет минимальная. Эти условия ТЗудобно записать в виде таблицы 1.12, называемой матрицей перевозок.

Станции отправления	Запасы грузов	Станции назначения
		B1	B2	...	Bj	...	Bn
		Потребности в грузе
		b1	b2	...	bj	...	bn
A1	a1			...		...
A2	a2			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
Ai	ai			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
Am	am			...		...

Каждая строка матрицы перевозок соответствует определенному пункту отправления, а каждый столбец - определенному пункту назначения.

Клетки матрицы перевозок, разделенные на две части - верхнюю и нижнюю, соответствуют маршрутам перевозок, число маршрутов (mxn). В верхних отделениях клеток записывают стоимости перевозок единицы груза по каждому маршруту С_{i j} , а в нижних - элементы решения, показывающие количество единиц груза, планируемое к перевозке из i-го пункта отправления вj-й пункт назначения, которое обозначается через x_ij.

Под планом перевозок, состоящим из mxn чиселx_ij (i = 1,m, j= 1,n), понимается совокупность перевозок, обеспечивающая все потребности пунктов назначения за счет вывоза всего груза из пунктов отправления.

Любой план перевозок определяется совокупностью чисел x_ij, т.е. перечислением величин перевозок, совершаемых по каждому из маршрутов.

Эти числа должны удовлетворять следующим условиям:

1. Из каждого пункта отправления должен вывозиться весь имеющийся там груз.

x₁₁+ x₁₂ + ... + x_1n = a₁ ,

(1.25)

x₂₁+ x₂₂ + ... + x_2n = a₂ ,

...

x_m1 + x_m2 + ... + x_mn= a_m;

или  , i = 1, m ,  .

2. В каждом пункте назначения должна удовлетворяться вся потребность в рассмотренном грузе.

x₁₁+ x₂₁ + ... + x_m1 = b₁,

(1.26)

x₂₁+ x₂₂ + ... + x_m2 = b₂,

...

x_m1 + x_m2 + ... + x_mn= b_m ;

или  , j = 1,n ,  .

3. Движение грузов должно происходить от станций отправления на станции назначения.

 ; i= 1, m ; j= 1,n . (1.27)

Подсчитаем общую стоимость перевозок по плану (табл. 1.12).

По маршруту, соединяющему i-й пункт отправления и j-й пункт назначения, перевозится x_ij единиц груза, а стоимость перевозки по данному маршруту пропорциональна количеству единиц перевозимого груза, т.е. она равна произведению c_ij x_ij единиц. Отсюда суммарная стоимость перевозок по всем маршрутам может быть записана так:

F= c₁₁x₁₁ + c₁₂ x₁₂ + ... + c_ij x_ij + ... + c_mn x_mn

или F=  .

Решение транспортной задачи заключается в нахождении такого плана перевозок, при котором суммарная стоимость перевозок была минимальной F=  min .(1.28)

При решении транспортной задачи условия (1.25) и (1.26) могут быть выполнены, если общее количество груза на станциях отправления равно суммарной потребности в этом грузе на всех станциях назначения (баланс наличия и потребления). Это может быть записано в виде равенства  .

В этом случае транспортная задача разрешается и называется закрытой.

Теперь мы в состоянии записать математическую модель ТЗ.

Найти матрицу перевозок X =  ,доставляющую минимум целевой функции F=  .

при следующих ограничениях:

 

 , i = 1, m ,  ,

, j = 1, n ,  ,

, i= 1, m ; j= 1,n .

Нетрудно усмотреть, что нами получена каноническая задача ЛП(КЗЛП). Более того, коэффициенты при всех m x n переменных x_ij равны 1, а каждая из переменных входит лишь в два уравнения.

На практике приходится решать задачи, в которых наличие груза и потребность в нем не являются сбалансированными, т.е.

.

Такая транспортная задача называется открытой. Методы ее решения в настоящее время слабо разработаны на теоретическом уровне, поэтому при решении открытой транспортной задачи на практике ее обычно приводят к закрытой форме.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи отклонения от открытой модели.

Случай 1. ТЗ с избытком запасов

Требуется найти оптимальный план перевозок при условии, что суммарные запасы груза больше общих потребностей:

.

Для приведения такой задачи к закрытой модели введем некоторую фиктивную станцию назначения B_n+1 с потребностями:

b_n+1 = 

и будем предполагать, что стоимость перевозки единицы груза из любой станции A_i в фиктивную станцию B_n+1 равно нулю, т.е. C_in+1 = 0,

i= 1, m.

Таким образом, отправление какого-то количества груза x_i0 со станции A_i на станцию B_n+1 попросту будет означать, что на станции A_i осталось неотправленым x_i0единиц груза.

Оптимальное решение этой задачи является также оптимальным решением исходной задачи.

Случай 2. ТЗ с избытком заявок.

Требуется найти оптимальный план перевозок при условии, что суммарные запасы меньше общих потребностей:

.

В этом случае полное удовлетворение всех станций назначения B_j невозможно. Следовательно, перевозки необходимо организовать так, чтобы наиболее важные станции обеспечивались грузом в первую очередь и суммарные издержки (суммарный штраф за недопоставку груза) были минимальными.

Пусть r_ij - величина ущерба (штраф), который измеряется в тех же единицах, что и стоимость перевозки c_ij , приходящегося на одну единицу недопоставленного в пункт B_j груза.

Для приведения такой задачи к закрытой модели вводится фиктивная станция отправления A_m+1 с запасами:

a_m+1 =  .

= M , M> 0.

Будем полагать, что стоимость перевозок единицы груза между любой станцией B_j и фиктивной станцией A_m+1 равна нулю, т.е.

C_{m+1 j} = 0 ; j = 1, n .

Далее, минимизируются общие затраты:

F =  ,

где y_j - величина недопоставки на станцию B_j , определяется как

y_j = B_j -  ; j = 1, n .

При решении задачи величина штрафа задается.

Случай 3. ТЗ с поиском максимума линейной формы

Перейдем к форме F₁ = - F и найдем план X₁* , доставляющий ей минимум. Тогда X* будет оптимальным и для исходной задачи, причем maxF = - F1(X*).

Случай 4. ТЗ с запретными маршрутами

Это такие задачи, в которых нельзя перевозить груз из некоторых пунктов отправления A_i в некоторые пункты назначения B_j. В этом случае стоимости соответствующих перевозок полагаем равными достаточно большому числу. Тогда при отыскании оптимального плана соответствующие перевозки будут блокированы.

Случай 5. ТЗ с обязательными поставками

В практике встречаются задачи, в которых дополнительным условием в ограничениях является обязательное обеспечение конкретных перевозок по определенным маршрутам. В этом случае каждую обязательную перевозку X_ij = d_ij реализуем условно, уменьшая на d_ij запасы в A_i и потребности в B_j. Если это сделать не удается, то исходная задача решения не имеет. В противном случае стоимости обязательных поставок полагаем равными достаточно большому числу, решаем полученную задачу и от ее оптимального плана переходим к оптимальному плану исходной задачи.

Случай 6. ТЗ с ограничением снизу

Пусть требуется решить ТЗ, в которой некоторые из перевозок ограничены снизу l_ij  x_ij. Тогда следует организовать условные перевозки, уменьшив на l_ij запасы в A_i и потребности в B_j. Если это сделать не удается, то исходная задача решения не имеет, в противном случае решаем полученную задачу и от ее оптимального плана переходим к оптимальному плану исходной ТЗ.

Случай 7. ТЗ с ограничением сверху

Это довольно сложный случай, но и он может быть сведен к определению решения некоторой вспомогательной сбалансированной ТЗ [3].

Одним из эффективных методов решения ТЗ является метод потенциалов, предложенный Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуриным. Суть метода заключается в том, что оптимальный план получают способом последовательного приближения, начиная с некоторого предварительного плана перевозок. Этот план может быть выбран произвольно, но с соблюдением условий (1.25), (1.26), (1.27), (1.28).

7.​ Основные понятия теории игр.

1. Основные понятия.

2. Теоремы теории игр.

3. Способы решения задач теории игр.

4. Методы принятия решений: в условиях определенности; в условиях риска; в условиях неопределенности.

Теория игр принадлежит к наиболее молодым математическим дисциплинам, её возникновение относится к концу II-й Мировой войны.

Теория игр представляет собой математическую дисциплину, пред­метом исследования которой являются методы принятия решений в конфликтных ситуациях.

Ситуация называется конфликтной, если в ней сталкиваются интересы нескольких лиц, преследующих противоположные цели.

Каждая из конфликтующих сторон может проводить ряд мероприятий для достижения своих целей, причём успех одной из сторон означает неудачу другой. При наличии свободной конкуренции в роли борющих­ся сторон торговые фирмы, промышленные предприятия и т. п. Однако, конфликтные ситуации встречаются и во многих других областях. К конфликтным ситуациям относятся почти все ситуации, возникающие при планиро-вании военных операций, выборе системы оружия, охране объектов от нападения, преследовании и перехвате цели. Чтобы сделать возможным математический анализ конф­ликтной ситуации, ее необходимо упростить, учтя только основные факторы.

Упрощенная, формализованная модель конфликтной ситуации, называется игрой, а конфликтующие 7стороны - игроками.

Игра представляет собой совокупность правил, описывающих пове­дение игроков.

Допустимые действия любого из игроков в игре называются правилами игры.

Каждый случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала и до конца представляет собой партию игры. Элементами игры являются ходы. Правила игры предусматривают, какова должна быть последовательность ходов, и указывают характер каждого хода. Ходы бывают личными и случайными.

Личный ход представляет собой выбор игроком одного из данного множества вариантов.

Например, в шахматах каждый ход - личный, причем 1-й - выбор из 20 вариантов. Решение, принятое игроком при личном ходе, называется выбором.

Случайный ход представляет собой выбор одного из вариантов, но не игроком, а некоторым механизмом случайного выбора.

Например, сдача карт, бросание монеты и т.п. Выбор при случайном ходе называется исходом хода.

Исходом игры является выигрыш или проигрыш. Величина этого выигрыша или проигрыша называется ценой игры.

Для личного хода правила игры перечисляют все возможные ва­рианты выбора и определяют какой игрок его делает. Для случай­ного хода - указывают варианты и вероятности их выбора.

Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.

Стратегии могут быть чистыми и смешанными. Стратегия, выбираемая в результате личного хода, является чистой. Стратегия, основанная на случайном выборе, называется смешанной.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш ( или минимально возможный средний проигрыш).

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конеч­ные и бесконечные. В игре могут сталки-ваться интересы двух или более противников. В 1-м случае игра называется парной, во 2-м - множественной. Ограничимся рассмотрением только парных игр.

Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

Рассмотрим парную игру с нулевой суммой. 1-й игрок имеет m воз­можных стратегий, а 2-й - n возможных стратегий. Не зная выбора друг друга, 1-й игрок выбирает i-ю стратегию, а 2-й игрок -j-ю стратегию. В результате игры 1-й игрок выигрывает величину  , а 2-й - проигрывает эту же величину. Из чисел составляют матрицу, которая называется платежной или матрицей игры,  .

Строки матрицы соответствуют стратегиям 1-го игрока, а столбцы - стратегиям 2-го. Это чистые стратегии.

Игра, определяемая матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называется конечной игрой размерности mхn.

Чтобы описание игры было законченным, необходимо указать цели, которыми руководствуются игроки при выборе своих стратегий. Эти цели просты: 1-й игрок стремится обеспечить себе наибольший вы­игрыш, а 2-й - наименьший проигрыш. Специфической трудностью является то, что ни один из игроков не контролирует полностью значение  , т.к. 1-й игрок распоряжается только выбором i, а 2-й - j. Преодоление этой трудности, т.е. определение наиболее рационального способа ведения игры каждым игроком, и представляет собой существо теории игр.

Для того, чтобы понять принципы, которые лежат в основе выбо­ра каждым игроком своей стратегии, рассмотрим игру со следующей матрицей А

y₁ y₂ y₃ А(х)

х₁ 7 2 5 2

А = х₂ 2 2 3 2

х₃ 3 5 4 3

В(y) 7 5 5

При выборе 1-м игроком, например, 1-й стратегии, х₁, его вы­игрыш может быть равен 7, 2 или 5. Может ли 1-й игрок рассчитывать на максимальный выигрыш ? Да, если 2-й игрок выберет 1-ю свою стратегию, y₁. Однако он может выбрать и 2-ю стратегию, y₂, и вы­игрыш будет равен 2. Но уже меньше 2 выигрыш не может быть ни при какой стратегии 2-го игрока. Поэтому число 2, являющееся минималь­ным элементом стратегии х₁, есть гарантированный выигрыш 1-го игрока при стратегии х₁. Аналогично можно определить гарантирован­ные выигрыши для любой стратегии 1-го игрока - А(х). Предполагает­ся, что игроки избегают необоснованного риска и выбирают ту стра­тегию, которая дает максимальный из всех гарантированных выигрышей.

Число  называется нижней ценой игры или максимином.

А соответствующая стратегия - максиминной.

Также можно рассуждать и в отношении 2-го игрока. Только в А указаны его проигрыши, которые он стремится минимизировать. Нап­ример, стратегия y₁может принести 2-му игроку проигрыш 7, 2 или 3. Но уже больше 7 он не проиграет. Следовательно, число 7, являющееся максимальным элементом стратегии y₁, есть гарантированный проигрыш2-го игрока при y₁. Определим все гарантированные проигрыши - В(y). Каким же проигрышем может ограничиться 2-й игрок ?

Число называется верхней ценой игры или минимаксом.

А соответствующая стратегия - минимаксной.

8.​ Применение методов линейного программирования к решению

матричных игр.

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство

можно представить в виде системы двух неравенств

ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см. рис. 2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 2.1). Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убыванияЦФ противоположно направлению вектора .

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня , соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи