Вариант № 52425

1. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−2; 4), B (−2; −5), C (4; −5). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

 

.

 

Ответ: −1,5.

Ответ: -1,5

2. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле . Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке

По­яс­не­ние.

По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 4) спра­вед­ли­во ра­вен­ство

 

 

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния f(x)=0 яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x). Это точки −1,8; −1,2; −0,8; −0,4; 0,2; 0,8; 1,6; 2; 2,4; 3,2; 3,8. Из них на от­рез­ке [−1; 3] лежат 8 точек. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−1; 3] урав­не­ние имеет 8 ре­ше­ний.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

3. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−5; −13), B (7; 8), C (7; −13). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу BAC

<center< center="">

 

Ответ: 1,75.

</center<>

Ответ: 1,75

4. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

 

.

 

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

5. B 8 . Уча­сток земли имеет пря­мо­уголь­ную форму. Сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка 25 м и 70 м. Най­ди­те длину за­бо­ра (в мет­рах), ко­то­рым нужно ого­ро­дить уча­сток, если в за­бо­ре нужно преду­смот­реть во­ро­та ши­ри­ной 4 м.

По­яс­не­ние.

Забор пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник с от­сут­ству­ю­щим ку­соч­ком на одной из сто­рон. Пе­ри­метр дан­но­го пря­мо­уголь­ни­ка без учёта проёма: 2(70+ 25) = 190 м. Учи­ты­вая длину проёма, по­лу­чим, что длина за­бо­ра: 190 − 4 = 186 м.

Ответ: 186

6. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

По­яс­не­ние.

За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках −3, 0, 3, 6 и ми­ни­му­мы в точ­ках −1, 2, 5. По­это­му сумма точек экс­тре­му­ма равна −3 + 3 + 0 + 6 − 1 + 2 + 5 = 12.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

7. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

По­яс­не­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

 

 

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц впра­во вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

 

 

Ответ: 2,7.

Ответ: 2,7

8. B 8 . Пе­ри­ла лест­ни­цы дач­но­го дома для надёжно­сти укреп­ле­ны по­се­ре­ди­не вер­ти­каль­ным стол­бом. Най­ди­те вы­со­ту l этого стол­ба, если наи­мень­шая вы­со­та h₁ перил от­но­си­тель­но земли равна 1 м, а наи­боль­шая h₂ равна 2 м. Ответ дайте в мет­рах.

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что дан­ная кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тра­пе­цию, а столб — сред­няя линия дан­ной тра­пе­ции. Длина сред­ней линии тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

9. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 25 мет­ров и 30 мет­ров. Хо­зя­ин пла­ни­ру­ет об­не­сти его за­бо­ром и раз­де­лить таким же за­бо­ром на две части, одна из ко­то­рых имеет форму квад­ра­та. Най­ди­те общую длину за­бо­ра в мет­рах.

По­яс­не­ние.

Длина за­бо­ра равна сумме пе­ри­мет­ра и ши­ри­ны. Най­дем пе­ри­метр участ­ка 30+30+25+25=110 м.

Длина за­бо­ра 110+25=135 м.

 

Ответ: 135.

Ответ: 135

10. B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 9 с.