Вариант № 52422

1. B 8 . Пе­ри­ла лест­ни­цы дач­но­го дома для надёжно­сти укреп­ле­ны по­се­ре­ди­не вер­ти­каль­ным стол­бом. Най­ди­те вы­со­ту l этого стол­ба, если наи­мень­шая вы­со­та h₁ перил от­но­си­тель­но земли равна 1 м, а наи­боль­шая h₂ равна 2 м. Ответ дайте в мет­рах.

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что дан­ная кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тра­пе­цию, а столб — сред­няя линия дан­ной тра­пе­ции. Длина сред­ней линии тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

2. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 10. Най­ди­те f'(10).

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ее урав­не­ние имеет вид y=kx. Пря­мая про­хо­дит через точку (10; −6), зна­чит, k=−0,6. По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния по­лу­ча­ем: f'(10)=−0,6.

 

Ответ: −0,6.

Ответ: -0,6

3. B 8 . Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те

По­яс­не­ние.

По смыс­лу за­да­чи a ≠ 0, а зна­чит, гра­фик за­дан­ной функ­ции — па­ра­бо­ла. Ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле имеет с ней един­ствен­ную общую точку. По­это­му не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­но ре­ше­ние. Для этого дис­кри­ми­нант урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, от­ку­да

 

Ответ: 25.

Ответ: 25

4. B 8 . Н а ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции 

В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

По­яс­не­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 0), (2; 7), (12; 15). Наи­боль­ший из них — ин­тер­вал (2; 7), длина ко­то­ро­го 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

5. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму квад­ра­та, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 30 м. Раз­ме­ры дома, рас­по­ло­жен­но­го на участ­ке и име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­ни­ка, — 8 м × 5 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 30 · 30 = 900 кв.м. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь дома равна 8 · 5 = 40 кв.м. Тем самым, пло­щадь участ­ка, не­за­ня­то­го домом равна 900 − 40 = 860 кв.м.

 

Ответ: 860.

Ответ: 860

6. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

По­яс­не­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

 

 

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц впра­во вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

 

 

Ответ: 2,7.

Ответ: 2,7

7. B 8 . Ко­ле­со имеет 25 спиц. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла (в гра­ду­сах), ко­то­рый об­ра­зу­ют две со­сед­ние спицы.

По­яс­не­ние.

Спицы делят ко­ле­со на два­дцать пять рав­ных сек­то­ров, а зна­чит, делят пол­ный угол 360° на 25 рав­ных углов по 14,4° каж­дый.

 

При­ме­ча­ние.

В дей­стви­тель­но­сти, спицы не все­гда делят ко­ле­со на рав­но­ве­ли­кие сек­то­ра.

 

Ответ: 14,4.

Ответ: 14,4

8. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; −2), B (2; −5), C(−1; −5). Тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен тан­ген­су угла ACB:

 

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

9. B 8 . Дет­ская горка укреп­ле­на вер­ти­каль­ным стол­бом, рас­по­ло­жен­ным по­се­ре­ди­не спус­ка. Най­ди­те вы­со­ту l этого стол­ба, если вы­со­та h горки равна 2 мет­рам. Ответ дайте в мет­рах.

По­яс­не­ние.

Дан­ная кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник, в ко­то­ром столб яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей. Длина сред­ней линии тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не длины сто­ро­ны, ко­то­рой она па­рал­лель­на: l = 2/2 = 1 м.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

10. B 8 . Два са­до­во­да, име­ю­щие пря­мо­уголь­ные участ­ки раз­ме­ра­ми 35 м на 40 м с общей гра­ни­цей, до­го­во­ри­лись и сде­ла­ли общий пря­мо­уголь­ный пруд раз­ме­ром 20 м на 14 м (см. чертёж), причём гра­ни­ца участ­ков про­хо­дит точно через центр. Ка­ко­ва пло­щадь (в квад­рат­ных мет­рах) остав­шей­ся части участ­ка каж­до­го са­до­во­да?

По­яс­не­ние.

Пло­щадь каж­до­го из участ­ков равна 35 · 40 = 1400 кв. м, а пло­щадь пруда равна 20 · 14 = 280 кв. м. На каж­дом участ­ке на­хо­дит­ся по­ло­ви­на пруда, за­ни­мая 140 кв. м. По­это­му пло­щадь остав­шей­ся части каж­до­го из участ­ков равна 1400 − 140 = 1260 кв. м.

 

Ответ: 1260.

Ответ: 1260