Вариант № 52415

1. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−2; 4), B (−2; −5), C (4; −5). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

 

.

 

Ответ: −1,5.

Ответ: -1,5

2. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].

 

По­яс­не­ние.

Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с по­ло­жи­тель­но­го на от­ри­ца­тель­ный. На от­рез­ке [−6; 9] функ­ция имеет одну точку мак­си­му­ма x = 7.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

3. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 8). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−9;6].

По­яс­не­ние.

Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с плюса на минус. На от­рез­ке [−9;6] функ­ция имеет две точки мак­си­му­ма x = − 4 и x = 4.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

4. B 8 . Стро­и­те­ли ого­ра­жи­ва­ют место для про­ве­де­ния работ за­бо­ром. Забор имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 18 м и 16 м. Причём не­об­хо­ди­мо оста­вить проёмы в за­бо­ре для про­ез­да машин. Про­ез­дов че­ты­ре, каж­дый ши­ри­ной 2 м. Най­ди­те общую длину за­бо­ра.

По­яс­не­ние.

Если бы в за­бо­ре не было проёмов, то его длина рав­нял­ся бы пе­ри­мет­ру пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 18 м и 16 м: 2(16 + 18) = 68 м. Учи­ты­вая что в за­бо­ре есть че­ты­ре проёма дли­ной 2 м, по­лу­ча­ем, что длина за­бо­ра равна 68 − 2 · 4 = 60 м.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

5. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке

По­яс­не­ние.

По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 4) спра­вед­ли­во ра­вен­ство

 

 

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния f(x) = 0 яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x) Это точки −1,5; −1,2; −0,6; −0,2; 0,2; 0,5; 1,2; 1,8; 2,5; 2,8; 3,2. Из них на от­рез­ке [−1; 3] лежат 8 точек. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−1; 3] урав­не­ние f(x) = 0 имеет 8 ре­ше­ний.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

6. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f'(8).

 

По­яс­не­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ее урав­не­ние имеет вид y = kx. Эта пря­мая про­хо­дит через точку (8; 10), по­это­му 10 = 8 · k, от­ку­да k = 1,25. По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния, по­лу­ча­ем: f'(8) = 1,25.

 

Ответ: 1,25.

Ответ: 1,25

7. B 8 . Уча­сток земли имеет пря­мо­уголь­ную форму. Сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка 25 м и 70 м. Най­ди­те длину за­бо­ра (в мет­рах), ко­то­рым нужно ого­ро­дить уча­сток, если в за­бо­ре нужно преду­смот­реть во­ро­та ши­ри­ной 4 м.

По­яс­не­ние.

Забор пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник с от­сут­ству­ю­щим ку­соч­ком на одной из сто­рон. Пе­ри­метр дан­но­го пря­мо­уголь­ни­ка без учёта проёма: 2(70+ 25) = 190 м. Учи­ты­вая длину проёма, по­лу­чим, что длина за­бо­ра: 190 − 4 = 186 м.

Ответ: 186

8. B 8 . Н а ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой .

По­яс­не­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = −6 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. Про­из­вод­ная равна нулю в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 3 мак­си­му­ма и 4 ми­ни­му­ма, итого 7 экс­тре­му­мов. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = −6 или сов­па­да­ет с ней в 7 точ­ках.

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

9. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней.

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней, она имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент рав­ный 2 и Оста­лось найти, при каких про­из­вод­ная при­ни­ма­ет зна­че­ние 2. Ис­ко­мая точка .

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.