Вариант № 52410

1. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь вы­де­лен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти зна­че­ний пер­во­об­раз­ных, вы­чис­лен­ных в точ­ках и Имеем:

 

Ответ:6.

Ответ: 6

2. B 8 . Са­до­вод решил раз­бить на своём дач­ном участ­ке 4 квад­рат­ные клум­бы и 8 клумб в виде пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков, ого­ро­див каж­дую из них не­боль­шим за­бор­чи­ком. Длина каж­дой сто­ро­ны у любой клум­бы равна од­но­му метру. Най­ди­те общую длину всех за­бор­чи­ков в мет­рах.

По­яс­не­ние.

Длина всех за­бор­чи­ков равна пе­ри­мет­ру че­ты­рех квад­ра­тов и вось­ми пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков. Пе­ри­метр квад­ра­та со сто­ро­ной 1 равен че­ты­рем, а зна­чит пе­ри­метр че­ты­рех квад­ра­тов равен 16. Пе­ри­метр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 1 равен 3, а зна­чит пе­ри­метр вось­ми пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков равен 3 · 8=24.

Длина за­бор­чи­ков 24+16=40.

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

3. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 40 м и 30 м. Раз­ме­ры дома, рас­по­ло­жен­но­го на участ­ке и также име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­ни­ка, — 9 м × 6 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 40 · 30=1200 кв.м. Пло­щадь дома равна 6 · 9 = 54 кв.м. Тем самым, пло­щадь участ­ка, не­за­ня­то­го домом равна 1200 − 54 = 1146 кв.м.

 

Ответ: 1146.

Ответ: 1146

4. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 24 метра и 36 мет­ров. Хо­зя­ин пла­ни­ру­ет об­не­сти его за­бо­ром и раз­де­лить таким же за­бо­ром на две части, одна из ко­то­рых имеет форму квад­ра­та. Най­ди­те общую длину за­бо­ра в мет­рах.

По­яс­не­ние.

Длина за­бо­ра равна сумме пе­ри­мет­ра и ши­ри­ны. Най­дем пе­ри­метр участ­ка 36+36+24+24=120 м.

Длина за­бо­ра 120+24=144 м.

 

Ответ: 144.

Ответ: 144

5. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке .

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (0; −7), B (0; −1), C (−3; −1). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB. По­это­му

 

.

 

 

Ответ: −2.

Ответ: -2

6. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

 

По­яс­не­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3; 0) и (4,2; 7). В них со­дер­жат­ся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

7. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и две­на­дцать точек на оси абс­цисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на?

 

 

 

По­яс­не­ние.

От­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ют ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет. В этих ин­тер­ва­лах лежат точки Таких точек 5.

 

Ответ:5.

Ответ: 5

8. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те  , где   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции 

По­яс­не­ние.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 6 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

 

Ответ:7.

Ответ: 7

9. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; −2), B (2; −5), C(−1; −5). Тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен тан­ген­су угла ACB:

 

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

10. B 8 .

Пря­мая па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.