Вариант № 52433

1. B 8 . Н а ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x),.

По­яс­не­ние.

За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках 1, 4, 9, 11 и ми­ни­му­мы в точ­ках 2, 7, 10. По­это­му сумма точек экс­тре­му­ма равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

 

Ответ: 44.

Ответ: 44

2. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму квад­ра­та, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 30 м. Раз­ме­ры дома, рас­по­ло­жен­но­го на участ­ке и име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­ни­ка, — 8 м × 5 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 30 · 30=900 кв.м. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь дома равна 8 · 5=40 кв.м. Тем самым, пло­щадь участ­ка, не­за­ня­то­го домом равна 900-40=860 кв.м.

 

Ответ: 860.

Ответ: 860

3. B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 1 с.

По­яс­не­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

При t = 1 c имеем:

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

4. B 8 . Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те

По­яс­не­ние.

По смыс­лу за­да­чи a ≠ 0, а зна­чит, гра­фик за­дан­ной функ­ции — па­ра­бо­ла. Ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле имеет с ней един­ствен­ную общую точку. По­это­му не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­но ре­ше­ние. Для этого дис­кри­ми­нант урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, от­ку­да

 

Ответ: 25.

Ответ: 25

5. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x). Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку y = f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = 6x или сов­па­да­ет с ней.

По­яс­не­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = 6x или сов­па­да­ет с ней, она имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент рав­ный 6. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. Оста­лось найти, в какой точке x про­из­вод­ная при­ни­ма­ет зна­че­ние 6: ис­ко­мая точка x = 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

6. B 8 . Два са­до­во­да, име­ю­щие пря­мо­уголь­ные участ­ки раз­ме­ра­ми 35 м на 40 м с общей гра­ни­цей, до­го­во­ри­лись и сде­ла­ли общий пря­мо­уголь­ный пруд раз­ме­ром 20 м на 14 м (см. чертёж), причём гра­ни­ца участ­ков про­хо­дит точно через центр. Ка­ко­ва пло­щадь (в квад­рат­ных мет­рах) остав­шей­ся части участ­ка каж­до­го са­до­во­да?

По­яс­не­ние.

Пло­щадь каж­до­го из участ­ков равна 35 · 40 = 1400 кв. м, а пло­щадь пруда равна 20 · 14 = 280 кв. м. На каж­дом участ­ке на­хо­дит­ся по­ло­ви­на пруда, за­ни­мая 140 кв. м. По­это­му пло­щадь остав­шей­ся части каж­до­го из участ­ков равна 1400 − 140 = 1260 кв. м.

 

Ответ: 1260.

Ответ: 1260

7. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те  , где   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  .

 

По­яс­не­ние.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

 

 

Ответ:7.

Ответ: 7

8. B 8 .

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

По­яс­не­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

 

 

В нашем слу­чае имеем:

 

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что пер­вый ко­рень удо­вле­тво­ря­ет, а вто­рой не удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию (*). По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са точки ка­са­ния 0.

 

 

Ответ: 0.

Ответ: 0

9. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

 

По­яс­не­ние.

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лу (−9; −6) дли­ной 3 и ин­тер­ва­лу (−2; 3) дли­ной 5. Длина наи­боль­ше­го из них равна 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. B 8 . Ры­бо­лов­ное хо­зяй­ство стро­ит бас­сейн для раз­ве­де­ния рыбы. Бас­сейн имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 12 м. В цен­тре каж­до­го бас­сей­на на­хо­дит­ся тех­ни­че­ская по­строй­ка, ко­то­рая имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 2 м и 3 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части бас­сей­на.

По­яс­не­ние.

Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−4; 6), B (−4; 4), C (4; 4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

 

.

 

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

По­яс­не­ние.

Пло­щадь вы­де­лен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти зна­че­ний пер­во­об­раз­ных, вы­чис­лен­ных в точ­ках и

Имеем:

 

 

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­лу­чим явное вы­ра­же­ние для По­сколь­ку

 

 

имеем:

 

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель от­ме­тит, что вто­рой под­ход эк­ви­ва­лен­тен вы­де­ле­нию пол­но­го куба:

 

 

что поз­во­ля­ет сразу же найти

 

Еще один спо­соб рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

 

 

Ответ:6.

Ответ: 6

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

 

.

 

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25