2.2. Работа идеального газа в различных процессах

Имея уравнение состояния (1.7) идеального газа, мы найдем совершаемую им работу при некоторых типичных процессах. Заодно определим количество теплоты, получаемое от внешнего источника.

1. Изохорный процесс. При изохорном нагревании или охлаждении (соответственно прямые 1  2 и 1  3 на рис. 2.2) работа просто равна нулю, поскольку объем не меняется.

Рис. 2.2. К определению работы в изохорном процессе

Получаемое количество теплоты (обозначим Q₁₂ при V=const через Q_12V) полностью идет на изменение внутренней энергии газа (см. (1.19))

(2.6)

Ту же самую величину можно выразить через изменение температуры газа

(2.7)

2. Изобарный процесс. Поскольку в этом процессе р=const, то давление можно вынести из-под знака интеграла в (2.3). Тогда получаем (рис. 2.3)

(2.8)

Рис. 2.3. Работа в изобарном процессе

Изменение внутренней энергии газа следует из (1.17)  (1.19):

(2.9)

Складывая (2.8) и (2.9), находим количество теплоты, переданное газу в этом процессе:

(2.10)

ПРИМЕР

Заметим, что мы излагаем достаточно общий подход, который применим не только к идеальным газам. Для иных систем может измениться уравнение состояния, как следствие изменятся выражения для совершенной работы, но принципы их вывода остаются одними и теми же. Приведем пример. Пусть для некоторой системы давление, температура и объем связаны соотношением

(2.11)

Найдем выражение для работы такой системы при изменении ее температуры от Т₁ до Т₂ при постоянном давлении. Поскольку давление постоянно, имеем для работы в изобарном процессе стандартное выражение Используя уравнение состояния (2.11), находим отсюда

3. Изотермический процесс расширения (или сжатия) газа может происходить в условиях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной разности температур. Для этого теплоемкость внешней среды должна быть достаточно велика, и процесс расширения (или сжатия) должен происходить весьма медленно. Диаграмма изотермического расширения представлена на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Работа при изотермическом расширении системы

Используя уравнение состояния и выражение (2.2) для элементарной работы, находим

(2.12)

Далее используем общее выражение (2.3) для работы при конечном изменении объема

(2.13)

Поскольку объем обратно пропорционален давлению, тот же результат можно представить в виде

(2.14)

Так как внутренняя энергия идеального газа не меняется при изотермическом процессе, в работу преобразовалась вся теплота, полученная от источника:

Пример 2.

Расширяясь, водород совершил работу 6 кДж. Найдем количество теплоты, подведенное к газу, если процесс протекал: а) изобарно; б) изотермически.

Рассмотрим сначала изобарное расширение. Из формул (2.8) и (2.10) следует связь количества теплоты и совершенной работы: Мы использовали значение =7/5 для двухатомного газа. Для изотермического расширения, как мы видели, полученное количество теплоты просто равно произведенной работе: Говоря о неплохом соответствии приведенных соотношений и данных опытов, следует отметить, что оно наблюдается лишь в определенном диапазоне температур. Иначе говоря, теплоемкость системы зависит от температуры, и формулы (2.24) имеют ограниченную область применения. Рассмотрим сначала рис. 1, на котором изображена экспериментальная зависимость теплоемкости с_тV газообразного водорода от абсолютной температуры Т.

Рис. 1. Молярная теплоемкость газообразного водорода Н₂ при постоям ном объеме как функция температуры (экспериментальные данные)

При температурах ниже 100 К теплоемкость что указывает на отсутствие у молекулы как вращательных, так и колебательных степеней свободы. Далее с ростом температуры теплоемкость быстро возрастает до классического значения характерного для двухатомной молекулы с жесткой связью, в которой нет колебательных степеней свободы. При температурах свыше 2 000 К теплоемкость обнаруживает новый скачок до значения Этот результат свидетельствует о появлении еще и колебательных степеней свободы. Но все это пока выглядит необъяснимым. Почему молекула не может вращаться при низких температурах? И почему колебания в молекуле возникают лишь при очень высоких температурах? В дальнейшем будут даны ответы на эти вопросы. А сейчас можно сказать только, что все дело сводится к специфически квантовым явлениям, не объяснимым с позиций классической физики.

Обратимся теперь к рис. 2, представляющему зависимость молярных теплоемкостей трех химических элементов (кристаллов) от температуры. При высоких температурах все три кривые стремятся к одному и тому же значению соответствующему закону Дюлонга и Пти. Свинец (Рb) и железо (Fe) практически имеют это предельное значение теплоемкости уже при комнатной температуре.

Рис. 2. Зависимость молярной теплоемкости для трех химических элементов  кристаллов свинца, железа и углерода (алмаза)   от температуры

Для алмаза же (С) такая температура еще не достаточно высока. А при низких температурах все три кривые демонстрируют значительное отклонение от закона Дюлонга и Пти. Это еще одно проявление квантовых свойств материи. Классическая физика оказывается бессильной объяснить многие наблюдаемые при низких температурах закономерности.