1.3. Кинетическая теория идеальных газов

В этом разделе мы переходим к молекулярно-кинетическому описанию идеального газа.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов будем считать молекулы маленькими твердыми шариками, упруго отражающимися от стенок сосуда. Силы взаимодействия возникают только при соударении молекул друг с другом или со стенками сосуда. Припишем каждой молекуле номер i (i=1, 2, ..., N), где N  полное число молекул в системе.

Пусть молекула i подлетает к стенке, ограничивающей движение вдоль оси х, со скоростью v_ix и импульсом p_ix. При отражении молекулы от стенки знак ее импульса меняется на противоположный -p_ix, так что изменение х-компоненты импульса молекулы равно Молекула после отражения долетит до противоположной стенки, снова отразится и в следующий раз подлетит к той же стенке через время где l  длина сосуда. Поскольку импульс p_ix передается стенке каждые t секунд, на стенку со стороны одной молекулы действует средняя сила

(1.7)

(Заметим на будущее, что средние значения величин мы будем обозначать угловыми скобками).

Если в сосуде заключено N молекул, то полная сила F получится суммированием выражения (1.8) по всем молекулам: При этом сумма произведений импульсов на скорости представима в виде Так как все направления равноправны и молекулы совершенно одинаково отражаются от всех стенок сосуда, имеем С другой стороны, среднее значение произведения импульса молекулы на ее скорость определяется как Поэтому и выражение для полной силы, действующей на стенку со стороны газа, приобретает вид

(1.8)

Разделив полную силу на площадь стенки S, мы получим выражение для давления газа р, где заменим произведение Sl на объем V сосуда. В итоге приходим к уравнению

(1.9)

Используем теперь тот факт, что скорость движения молекул при обычных для нашего мира температурах много меньше скорости света, так что импульс молекулы представим в виде р=m₀v, где т₀  масса молекулы. Получаем тогда из (1.9) соотношения, которые называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов:

(1.10)

или

(1.11)

Здесь п  концентрация молекул, <Е_ПОСТ>  средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну молекулу. Произведение N<Е_ПОСТ> есть полная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа в данном объеме V.

Быть может, на первый взгляд трудно узнать в соотношениях (1.101.11) сходство со знакомым нам уравнением КлапейронаМенделеева

поэтому слегка преобразуем последнее. Введем новую величину  постоянную Больцмана

Важность этой физической постоянной определяется тем, что с ее помощью устанавливается связь между энергией и температурой, как это видно уже по ее размерности. Далее используем, что

 число молей вещества в системе, а N_A  число молекул в одном моле, так что N_A равно полному числу частиц в системе. Приходим тогда к следующей форме уравнения КлапейронаМенделеева:

(1.12)

Сравнивая (1.10) с (1.12), мы видим, что, в сущности, имеем дело с аналогичным уравнением, если определить абсолютную температуру соотношением

(1.13)

Именно так абсолютная температура появляется в физике. Слева в уравнении (1.13) стоит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. При нулевой температуре, как мы теперь воочию убеждаемся, действительно прекращается тепловое движение молекул, и потому абсолютный нуль недостижим.

Пример.

В подземной полости радиусом 100 м проводится подземное испытание ядерного оружия мощностью 50 килотонн. Оценим давление газа в полости и минимальную глубину испытательной шахты, чтобы продукты взрыва не вырвались наружу.

Для решения задачи в приведенной формулировке нам пока не хватает данных. Сначала надо найти полную энергию газа, образовавшегося при взрыве. Намек на ее величину содержится в указании так называемого тротилового эквивалента. По традиции энергию взрыва сравнивают с энергией взрыва тротила (тола). Энергия W взрыва 50-килотонной бомбы эквивалентна энергии взрыва 5·10⁴ т=5·10⁷ кг тротила. В справочнике находим, что энергия взрыва 1 кг тротила равна 4.2 МДж. Таким образом, при взрыве этой бомбы выделяется энергия Поскольку взрыв происходит в полости, будем считать, что вся эта энергия превратилась в кинетическую энергию продуктов взрыва. Так как нам известен объем полости то величину давления находим из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов (1.12) Получим теперь ответ на второй вопрос задачи. Газы не вырвутся наружу, если внешнее давление породы над полостью превышает давление продуктов взрыва. Внешнее давление можно оценить по известной формуле гидростатики где   плотность породы. В справочнике находим, например, плотность гранита =2 600 кг/м³, которую можно взять за основу оценки. Из равенства находим минимальную глубину шахты h: В заключение этого раздела сделаем замечание. Мы специально не предполагали с самого начала классической зависимости импульса частицы от ее скорости. Поэтому уравнение (1.9) имеет более широкую область применимости, нежели (1.10). Например, электромагнитное излучение можно представить как совокупность особых частиц (фотонов), движущихся со скоростью света. Поэтому для фотонов где с  скорость света. С другой стороны, энергия фотонов Е_ связана с их импульсом соотношением так что уравнение (1.9) приобретает в этом случае вид

(1.14)

Мы видим, что уравнение состояния идеального газа фотонов отличается числовым множителем в правой части от соответствующего уравнения для газа обычных частиц.