4.3. Кинетическая теория переноса

Изложенные выше законы, описывающие явления переноса  первый закон Фика и аналогичные законы для внутреннего трения и теплопроводности,  были установлены экспериментально. В этом разделе мы покажем, что они следуют из молекулярно-кинетической теории. Основу всех явлений переноса составляет хаотическое движение молекул. При переходе в другие части системы молекулы переносят туда информацию о тех условиях, в которых они пребывали прежде. Перенос массы (или сам переход частиц) характерен для явления диффузии. Перенос энергии от одних слоев газа к другим составляет сущность процесса теплопроводности. И, как мы увидим, перенос импульса лежит в основе явления внутреннего (молекулярного) трения газа или жидкости.

Диффузия. Проведем сначала анализ процесса диффузии (точнее, самодиффузии, то есть диффузии каким-то образом выделенных молекул в среде, состоящей из таких же частиц). В этом случае средние скорости частиц среды и диффундирующих частиц одинаковы, а длина свободного пробега дается уже знакомым выражением Выделим мысленно в среде какую-то площадку S и направим ось z ортогонально к ней. Две другие оси х и у параллельны площадке. Хаотичность движения молекул смоделируем следующим образом. Будем считать, что ровно 1/3 молекул движется вдоль оси х, 1/3  вдоль оси у и 1/3  вдоль оси z. Из молекул, летящих параллельно z, ровно половина (1/6 часть полного числа молекул) движется в положительном направлении, и столько же  в отрицательном. Подсчитаем количество молекул, пересекающих площадь S в единицу времени (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Встречные потоки частиц через площадку S из областей с различной концентрацией частиц (к выводу первого закона Фика)

Ясно, что молекулы, летящие вдоль осей х и у, площадку не пересекут. За время dt молекулы преодолевают расстояние <v>dt. Потому на площадку попадет только 1/6 часть молекул из объема <v>dtS справа и 1/6 часть молекул из того же объема слева. Но концентрации частиц слева и справа различны (п зависит от z).

Внимательный читатель может спросить: ведь мы фиксируем бесконечно малый промежуток времени dt, следовательно, и рассматриваемые объемы  диски бесконечно малой толщины <v>dt. Поэтому, казалось бы, и концентрации частиц слева и справа должны совпадать. Вопрос правилен, но дело в том, что последний раз перед попаданием на площадку S молекулы сталкивались с другими молекулами на расстоянии длины свободного пробега  от площадки. Поэтому к выделенной нами площади они подходят с теми концентрациями частиц n(z-) и n(z+), которые сложились в точках с координатами z- и z+ соответственно (z  координата площадки). Слева на площадку попадет число частиц dN₁, a справа  dN₂, причем эти числа будут различаться:

(4.16)

Поскольку  мало, можем разложить концентрации частиц в ряд, удерживая только два первых члена:

(4.17)

Полное число частиц dN, пересекающих площадку в положительном направлении оси z, равно разности чисел частиц, пересекающих площадку слева и справа. Находим тогда

(4.18)

Выражение для потока числа частиц будет

(4.19)

по структуре в точности совпадает с первым законом Фика (4.7). Стало быть, мы не только вывели этот закон, но и определили коэффициент диффузии:

(4.20)

Учитывая, что

и что

(4.21)

Такая зависимость коэффициента диффузии в газах от температуры и давления подтверждается экспериментом.

Вязкость. Рассмотрим теперь механизм возникновения вязкости газа. Ось z теперь будем представлять расположенной вертикально в соответствии с рис. 4.6.

Рис. 4.6. Встречные потоки частиц через площадку S из областей с различной скоростью упорядоченного движения частиц (к выводу закона вязкости)

Предположим теперь, что концентрация частиц одинакова во всех частях системы, так что числа частиц

приходящих снизу и сверху, равны. Однако молекулы приходят из слоев, имеющих разные скорости упорядоченного (не молекулярного!) движения u(z). Когда более медленная молекула из нижнего слоя попадает в верхний, она притормаживает его упорядоченное движение, а сама ускоряется. Наоборот, молекулы из верхнего слоя ускоряют нижний и тормозятся им. Таким образом, этот процесс способствует выравниванию скоростей в системе, а именно в этом и заключается явление внутреннего трения (вязкости).

Мы предполагаем, что скорость упорядоченного движения много меньше средней скорости теплового движения молекул (составляющей сотни метров в секунду). Тогда среднюю скорость теплового движения <v> можно по-прежнему считать постоянной. Для импульсов упорядоченного движения, переносимого через площадь S снизу и сверху, имеем

(4.22)

Отсюда для полного импульса, переносимого в положительном направлении оси г, получаем

(4.23)

В этой формуле мы использовали плотность газа

Переносимый импульс параллелен скорости и, а его направление зависит от знака производной. При распределении скоростей, показанном на рис. 4.3, скорость растет с ростом z, так что производная Знак минус в уравнении (4.23) означает, что импульс, поступающий снизу от более медленных слоев, меньше импульса, поступающего сверху, от более быстрых. Поэтому импульс слоя с координатой z в данном случае стремится возрасти на величину dp. Производная дает силу, действующую на слой жидкости площадью S и имеющий координату z

(4.24)

Мы вывели закон (4.14) и получили выражение для коэффициента динамической вязкости

(4.25)

Теперь нетрудно установить зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры и рода газа:

(4.26)

Обратите внимание, что коэффициент динамической вязкости не зависит в конечном итоге от плотности, то есть от давления. Это происходит потому, что с ростом давления увеличивается плотность газа, но и пропорционально растет концентрация частиц, то есть уменьшается длина свободного пробега. Эти два фактора компенсируют друг друга.

Теплопроводность. Проанализируем теперь явление теплопроводности. Предположим, что концентрация частиц в системе всюду одинакова, так что слева и справа площадку пересекает одинаковое число частиц, как и в предыдущем разделе:

(4.27)

так что полный поток частиц через площадку S (рис. 4.7) равен нулю.

Рис. 4.7. Встречные потоки частиц через площадку S из областей с различной температурой газа (к выводу закона теплопроводности)

Однако молекулы приносят с собой те средние энергии w, которыми они обладали в слоях с координатами z и z+. Эти энергии пропорциональны температуре:

Умножая среднюю энергию на число частиц, пересекающих площадку, получаем для переносимого ими количества энергии слева и справа

(4.28)

Для тепла, переносимого в положительном направлении оси z, отсюда получаем выражение

(4.29)

Мы вывели закон (4.15) и нашли коэффициент теплопроводности

(4.30)

Напомним, что i  эффективное число степеней свободы молекулы. Поскольку то коэффициент теплопроводности не зависит от концентрации молекул или плотности газа. Зависимость его от температуры Т и рода газа такова:

(4.31)

Введем удельную теплоемкость газа при постоянном объеме и учтем далее, что масса молекулы равна откуда следует связь концентрации частиц с плотностью газа Тогда получим для коэффициента теплопроводности несколько иное выражение:

(4.32)

Из проведенного анализа следуют формулы связи между соответствующими коэффициентами переноса (см. соотношения (4.20), (4.25) и (4.32)):

(4.33)

Приведем численные оценки, использовав полученные ранее результаты для водяного пара, характерные при нормальных условиях для всех газов: плотность Тогда находим коэффициенты диффузии теплопроводности (i=6 для водяного пара) и динамической вязкости Сравним полученные оценки с опытными данными для воздуха: Мы видим, что не ошиблись, по крайней мере, в порядках величин, хотя наши оценки коэффициентов и не совсем точны.