5.3. Правило выбора решения и критерии его качества

Правило выбора решения предписывает порядок проведения анализа полученной реализации сигнала с помехой и устанавливает, при каком результате анализа должно быть выдано одно из двух альтернативных решений («Да» или «Нет»).

В качестве основы для построения правила выбора решения используются величины P_обн, P_лт, P_ошб или Ri. При этом могут использоваться различные критерии качества.

Рассмотрим правило выбора решения, основанное на критерии максимума апостериорной вероятности. Суть правила состоит в том, что из двух решений _s или ₀ всегда следует выбирать такое, которому соответствует большая величина апостериорной условной вероятности P(s/y) или P(0/y). При P(s/y) > P(0/y) следует принимать решение _s, а в обратном случае – решение ₀.

С учетом соотношений раздела 5.2. правило выбора решения сводится к условию:

 > P₀/P_s _s

P₀/P_s ₀ . (5.14)

Процедура принятия решения, предписываемая этим правилом, состоит в извлечении из полученной реализации отношения правдоподобия  и его сравнения с некоторым пороговым значениям _п = P₀/P_s. При  > _п принимается решение _s, а в обратном случае – решение ₀.

Полученное правило позволяет минимизировать число ошибочных решений. Его рекомендуется применять в случаях, когда ложная тревога и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени.

Критерий максимума апостериорной вероятности часто называют критерием Котельникова, применившего его для решения задачи синтеза оптимальных приемных устройств, или критерием идеального наблюдателя, беспристрастно фиксирующего ошибки любого рода.

Если для выработки правила решения вместо вероятности P_ошб используется средний риск Ri и устанавливается критерий достижения минимального значения Ri, называемый критерием Байеса или критерием минимума среднего риска, то правило получается в виде

 > _п _s

_п ₀ , (5.15)

где _п = P₀ (П_s0 - П₀₀)/ P_s (П_0s + П_ss).

Отличие от правила (5.14) в величине порогового значения _п . При П₀₀ = П₀₀ = 0 и П_s0 = П_0s = 1 получаем правило (4.14), что свидетельствует о его частном случае более общего правила (5.16).

В тех случаях, когда значения априорных вероятностей P_s, P₀ и коэффициентов потерь П_ij не могут быть определены, применяют критерий максимума правдоподобия. Правило выбора решения при этом критерии записывается в виде

 > 1 _s

1 ₀ , (5.17)

Процедура принятия решения остается прежней. Изменяется лишь величина порога. Правило (4.17) является частным случаем правила (4.14), когда P_s=P₀=0,5.

Известен также критерий Неймана-Пирсона. Правило, базирующиеся на этом критерии, обеспечивает получении максимальной величины P_обн при заданном уровне P_лт, т.е. при заданном уровне значимости дает наибольшую мощность решения. Запись правила аналогична (5.14), (5.15), но величина порога _п другая, она полностью определяется значениями P_обн и P_лт, которые должна обеспечить система обнаружения.

5.4. Обнаружение методом однократного отсчета

Все рассмотренные критерии качества приводят, по существу, к одному правилу принятия решения. Оно состоит в определении отношения правдоподобия  и сравнения его с пороговым значением _п, зависящим от применяемого критерия.

Задачу обработки реализации y(t) до получения отношения правдоподобия  можно решить, если априорно известны хотя бы некоторые данные о полезном сигнале s(t), вероятностные характеристики помехи (t) и характер взаимосвязи между полезным сигналом и помехой. Вначале рассмотрим простейший случай обнаружения при так называемом методе однократного отсчета. Суть этого метода состоит в том, что в некоторый момент времени t_i берется единственный отсчет y(t_i) = y_i реализации входного сигнала. По этому отсчету необходимо принять решение о наличии или отсутствии полезной составляющей в нем.

Мгновенное значение

y_i = s_i + _i. (5.18)

В отсутствии полезного сигнала s_i =0 и _i =0. Тогда

P(y/0) = P(y_i/0) = P(_i) = _id_i = y_idy_i, (5.19)

где  - одномерная плотность вероятности помехи.

Вероятность P(y/s) получения реализации сигнала с помехой совпадает с вероятностью получения случайной величины (y_i - s_i), равной величине _i. Поэтому

P(y/s) = P(y_i/s_i) = P[(y_i - s_i)] = y_i - s_id(y_i). (5.20)

На основании (4.6), (4.19) и (4.20) получаем

 = P(y/s)/ P(y/0)= y_i - s_i/y_i. (5.21)

Помеху можно считать стационарным нормальным случайным процессом с нулевым средним и дисперсией ^.Поэтому

y_i - s_i = ;

y_i = ;

 = . (5.22)

Из (5.22) следует, что при известных s_i и ^ отношение правдоподобия  и отсчет y_i реализации связаны между собой однозначно. Каждому отсчету y_i соответствует вполне определенное значение . Поэтому оказывается достаточным сравнивать отсчеты y_i с некоторым порогом, получаемым из (5.22) при  = _п,

y_п = . (5.23)

При y_i > y_п выдается решение «Да», при y_i < y_п – решение «Нет».

Возникает два момента, вносящие неопределенность в решение задачи. Во-первых, с какой частотой следует производить отсчеты? Ведь при слишком редких отсчетах сигнал может быть пропущен. Во-вторых, как определить значение s_i в момент отсчета? Ведь непосредственное измерение мгновенного значения s_i по полученному мгновенному значению y_i невозможно из-за наличия случайной величины _i.

Ответ на первый вопрос может быть простой: отсчеты следует производить непрерывно. В этом случае пропуск сигнала из-за дискретности отсчетов не возможен. Таким образом, сигнал y(t) должен поступать на решающее устройство непрерывно и сравниваться с порогом y_п (см. рис. 5.1).

y(t)

Да

Да

Нет

Нет

Нет

y_п

t

0

Рис. 5.1

Если s_i = a и _п = 1, то y_п = 0,5a. Вероятность

P_лт = P[(y_i >y_п)/0]= , (5.24)

где y(t) не содержит полезного сигнала.

Вероятность

P_прп = P[y_i <y_п)/s] = , (5.25)

где y(t) – содержит полезную составляющую.

При известных априорных данных о P_s, P₀ и П_ij можно получить характеристики обнаружения при использовании любых критериев.