§5. Розміщення.

Упорядкована множина з m елементів даної множини М, що містить n елементів, де m ≤ n, називається розміщенням з n елементів по m.

Розміщення відрізняють один від одного або елементами, або їх порядком.

Число розміщень з n елементів по m позначається А_n^m.

Закономірність утворення чисел:

Кожне з таких чисел дорівнює добутку стількох послідовних натуральних чисел, скільки елементів у розміщенні.

На першому місці стоїть множник, що дорівнює кількості всіх елементів множини, з якої утворюються розміщення, а кожний наступний множник на одиницю менший від попереднього.

Останній множник дорівнює різниці між кількістю всіх елементів, з яких утворюється розміщення, і числом, на одиницю меншим від кількості елементів у розміщенні.

Формула : А_n^m= ,

Основні властивості розміщення:

А_n^m=n*A^m-1_n-1

A^n-1_n=P_n

Наприклад: Скільки можна утворити різних трицифрових додатних цілих чисел у десятковій системі числення?

Розв'язання: з 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можна утворити А₁₀³ трицифрових чисел, тобто А₁₀³=

Але слід з них виключити ті числа, які починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з 9 цифр по 2 (без нуля), тобто А₉²=

Отже, різних трицифрових чисел можна утворити 720-72=648.

У класі з 32 учнів для проведення зборів обирають голову, заступника і секретаря. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання: Оскільки, перший обраний повинен бути головою, другий – заступником, третій – секретарем, то, якщо поміняти їх місцями, матимемо інший варіант. Отже, якщо порядок не має значення, то це розміщення. Отже:

А₃₂³=

§6. Комбінації.

Будь-яка підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m.

Кількість усіх можливих комбінацій з n елементів по m позначається символом С_n^m.

Комбінація відрізняється від розміщення тим, що у цій підмножині неістотним є порядок елементів.

У загальному випадку кількість комбінацій з n елементів по m можна обчислити за формулою:

С_n^m= , або

С_n^m=

Властивості комбінацій:

С_n^m= С_n^m-1

С_n^m+1= С_n^m

С_n⁰+ С_n¹+ С_n²+…+ С_nⁿ=2^m;

С_n⁰=1

С_n¹=1

С_nⁿ=1.

Наприклад: Скількома різними способами можна вибрати з 15 осіб делегацію в складі 3 осіб?

Розв'язання: треба обчислити

С₁₅³=

Отже, існує 455 способів.

Збори, на яких були присутні 30 осіб, в тому числі 2 жінки, обирали чотирьох співробітників для роботи на виборчій дільниці. Скільки може бути випадків, коли в число обраних увійдуть обидві жінки?

Розв'язання: Обидві жінки увійшли до роботи на дільниці, тому випадків, коли в число обраних увійдуть вони, С₂₈² (з 28 чоловік треба вибрати двох, при цьому порядок несуттєвий).

С₂₈²=

§7.Помічник

При розв'язуванні простих комбінаторних Задач спочатку слід визначити вид сполуки. Нагадаємо, що

• перестановки відрізняються одна від одної порядком розташування елементів;

• розміщення відрізняються або вибором елементів, або порядком їх розташування;

• комбінації відрізняються тільки вибором елементів (порядок розміщення елементів не враховується.

Наприклад: 8 дівчаток подорожували у двох човнах, у меншому з яких могло вміститися не більше 4 осіб, а в більшому – не більше 6 осіб. Скількома способами вони можуть розміститися в цих човнах?

Розв'язання: Достатньо знайти кількість можливих варіантів для першого човна. Тоді всі, хто не сів до першого човна, сядуть у другий човен.

У першому човні може бути або 2, або 3, або 4 дівчини згідно з умовою задачі. Нас задовольняє або перший, або другий, або третій, отже застосовуємо правило суми.

Проаналізуємо кожний варіант окремо. Чи враховується порядок розміщення елементів? Ні, бо будь-яка пара, яка знаходиться в човні, дає один варіант.

Чи всі елементи входять у сполуку? Ні, бо вибираємо двох дівчат з восьми. Отже, це комбінації С₈².

Якщо в першому човні з дівчини, то маємо С₈³ варіантів, а для чотирьох дівчат С₈⁴.

Кількість усіх можливих варіантів знаходимо за правилом суми:

С₈²+ С₈³+ С₈⁴=

+

варіанти

Відповідь: 154 способи.

Збори з 60 осіб обирають голову, секретаря, трьох членів редакційної комісії. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання: Оскільки треба обрати і голову, і секретаря, і трьох членів комісії, то застосовуємо правило добутку.

Спочатку оберемо голову і секретаря. Порядок розміщення елементів враховується, бо перший повинен бути головою, а другий секретарем. У сполуку входять не всі елементи, тому це розміщення А₆₀².

Трьох членів редакційної комісії оберемо з 58 осіб, які залишилися. Члени комісії рівноправні, отже, порядок розміщення не враховується. У сполуку входять не всі елементи, тому це комбінації С₅₈³.

Кількість усіх варіантів знаходимо за правилом добутку:

А₆₀²*С₅₈³= *

Відповідь: 109230240 способами.