§2. І етап вивчення комбінаторики

Комбінаторні задачі бувають різних видів. Але більшість із них розв'язуються за допомогою двох основних правил: правила суми і правила добутку.

Правило суми. Число можливих виборів одного елемента із кількох скінчених множин, які попарно не перетинаються, дорівнює сумі числа елементів цих множин.

Наприклад: У класі 12 хлопчиків і 7 дівчаток. Скількома способами можна вибрати одного учня цього класу?

Розв'язання: Хлопчика можна вибрати 12 способами, а дівчинку – 7 способами, тоді або хлопчика, або дівчинку можна вибрати за правилом суми:

12+7=19(способами)

Відповідь: 19 способами.

Правило добутку. Число можливих виборів одного кортежу довжиною n, компоненти якого вибираються з однієї або кількох скінчених множин, дорівнює добутку числа можливих виборів кожного компоненту кортежу при умові, що підрахунок числа можливих виборів кожного наступного компонента здійснюється після того, як зроблено підрахунок всіх попередніх компонентів.

Наприклад: У класі 10 дівчаток і 14 хлопчиків. Скількома способами можна вибрати для участі в конкурсі хлопчика і дівчинку?

Розв'язання: Дівчинку можна вибрати 10 способами, хлопчика – 14способами, тоді і хлопчика, і дівчинку можна вибрати за правилом добутку:

10*14=140(способами)

Відповідь: 140 способами.

§3. Іі етап вивчення комбінаторики.

ІІ етап вивчення комбінаторика – ознайомлення з трьома видами комбінацій без повторень. Комбінаціям, які зустрічаються в цих задачах, присвоєні спеціальні назви: розміщення, перестановки і комбінації. Комбінації, розміщення і перестановки разом називаються сполуками.

§4. Перестановки

Будь-яка впорядкована множина, що складається з n елементів, називається перестановкою з елементів.

Перестановки відрізняються одна від одної лише порядком елементів.

Перестановки – впорядковані множини.

Кількість усіх можливих перестановок у множині з n елементів позначається Р_n.

Кількість усіх можливих перестановок у множині з n елементів дорівнює добутку послідовних натуральних чисел, тобто

Р_n = 1*2*3*4*…* n,

Р_n = n!,

де n – натуральне число; ! – факторіал (добуток послідовних натуральних чисел).

Наприклад: В понеділок у класі 5 уроків. Потрібно скласти розклад занять на цей день, якщо повинні бути заняття з 5 різних дисциплін. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання: Р_n = n!=5!=1*2*3*4*5=120.

Відповідь: 120.

Обчислити:

Для легшого підрахунку можна використовувати таблицю:

1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5040
8!	40320
9!	362880
10!	3628800

Наприклад: Скільки слід взяти елементів, щоб число всіх перестановок, утворюваних з них, дорівнювало 5040?

Розв'язання: Маючи таблицю та результат, який ми повинні отримати, ми можемо сказати, що нам потрібно взяти 7 елементів.