26Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебания частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Гармонические волны характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Они распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Смещение y (x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону:

y(x, t)=A cos ω(t-x/v)= Acos(ωt-kx)

где k=ω/v – так называемое волновое число, ω = 2πf – круговая частота.

21.Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

где × ‒ знак векторного произведения.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением

, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси Lz равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса Lx не зависит от положения точки O на оси z.

М = Fd — момент силы равен произведению величины силы на ее плечо.

Элементарная работа по повороту тела равна произведению момента силы на угол поворота.

Итак, необходимые условия равновесия абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения: одновременное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил, действующих на тело.

Второй закон Ньютона для тела: угловое ускорение ε твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции относительно этой оси. Из этого выражения следует, что момент инерции U является мерой его инертности во вращательном движении вокруг неподвижной оси. В случае поступательного движения мерой инертности, как известно, является масса тела.

(Эпселон и момент- векторные)

Второй закон Ньютона для материальной точки: материальная точка может двигаться вокруг оси, оставаясь от нее на постоянном расстоянии, следовательно, ее траектория будет являться окружностью с центром на оси вращения.

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Итак, момент силы во вращательном движении играет такую же роль, как и сила в поступательном движении, − именно он определяет изменение угловой скорости

Закон сохранения момента импульса.

Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса также как и закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

20.теорема Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции Іс относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями

Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен

6. Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z, проходящей через него, с угловой скоростью ω. Так как тело является абсолютно твердым, следовательно, все точки тела будут вращатьсяс одинаковой угловой скоростью

Если разбить тело на малые объёмы с элементарными массами m1,m2… находящиеся на расстоянии r1,r2…, от оси вращения, то кинетическую энергию тела можно записать в виде

Известно, что или

Из сравнения Wk. вр. с Wk. поступательного движения ( ) следует, что момент инерции вращательного движения заменяет массу во вращательном движении и является мерой инертности тела.

Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия

Например, цилиндр катиться без скольжения по плоскости.

19.Величина, равная произведению массы точки и квадрата расстояния от нее до оси вращения, называется моментом инерции точки относительно этой оси

При использовании момента силы и момента инерции равенство принимает вид

Сравнивая это выражение со вторым законом Ньютона для поступательного движения, приходим к выводу, что при описании вращательного движения с помощью углового ускорения роль массы выполняет момент инерции, а роль силы – момент силы.

Установим теперь связь между угловым ускорением и моментом сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Разобьем мысленно тело на малые элементы массами , которые можно считать материальными точками, т.е. будем рассматривать твердое тело как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. При вращении тела вокруг неподвижной оси его точки двигаются по окружностям радиусов , которые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Пусть на каждую точку действует внешняя сила и сумма внутренних сил со стороны остальных частиц системы.

Поскольку точки движутся по плоским окружностям с тангенциальными ускорениями , то это ускорение вызывают касательные составляющие сил и .

Запишем второй закон Ньютона для тангенциального ускорения i - й точки

Умножив обе части последнего равенства на и выразив тангенциальные ускорения точек через угловое ( ), одинаковое для всех точек тела, получим:

Просуммируем по всем точкам системы, учитывая, что сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. Действительно, все внутренние силы можно сгруппировать на попарно равные и противоположно направленные. Силы каждой пары лежат на одной прямой, поэтому имеют одинаковые плечи, а значит равные, но противоположно направленные моменты. В результате получаем уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси как системы материальных точек

Сумма моментов внешних сил, действующих на тело, равна моменту результирующей этих сил относительно оси OO′:

Моментом инерции тела относительно некоторой оси называют сумму моментов инерции всех его точек относительно той же оси:

С учетом полученных соотношений, определяющих понятия момента инерции тела и суммарного момента сил M, имеем:

Это выражение называют уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Вектор углового ускорения тела совпадает по направлению с вектором момента сил M относительно неподвижной оси, а момент инерции тела – величина скалярная, следовательно, предыдущее уравнение можно записать в векторной форме:

Из этого уравнения можно выразить угловое ускорение

Полученное уравнение (*) называют вторым законом Ньютона для вращательного движения твердого тела.Отличие от поступательного движения заключается в том, что вместо линейного ускорения используется угловое , роль силы выполняет момент силы , а роль массы – момент инерции .

В динамике поступательного движения равными силами считаются те, которые сообщают телам равной массы одинаковые ускорения. При вращательном движении одна и та же сила может сообщать телу разные угловые ускорения в зависимости от того, как далеко лежит линия действия силы от оси вращения. Поэтому, например, велосипедное колесо легче привести в движение, прикладывая силу к ободу, чем к середине спицы. Разные тела получают под действием одинаковых моментов сил одинаковые угловые ускорения, если равны их моменты инерции.Момент инерции зависит от массы и ее распределения относительно оси вращения. Поскольку угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции, то при прочих равных условиях тело легче привести в движение, если его масса сконцентрирована ближе к оси вращения.

14.. Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными (потенциальными).

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.