22. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются

определенной повторяемостью во времени. Колебательные процесс широко

распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный

электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется

координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и

ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают

колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные

колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми

уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению

колебаний различной физической природы.

Колебания называются свободными (или собственными), если

они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем

отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую

колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания

- колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону

синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам

:

1. Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий

к гармоническому;

2. Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через

равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических

колебаний.

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s =A cos (w0 t +j) , (1)

где

n А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое

амплитудой колебания,

n w0 - круговая (циклическая) частота,

n j - начальная фаза колебания в момент времени t=0,

n (w0 t +j) - фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент

времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может

принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются

через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который

фаза колебания получает приращение равное 2p, т.е.

w0(t+T)+ j=(w0t+ j)+2p ,

откуда

T=2p/w0

(2)

Величина, обратная периоду колебаний,

n=1/T (3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется

частотой колебаний.

Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при

которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

25Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0. Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы. После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Уравнение вынужденных колебаний

χ + ω_0^2 χ = A cosωt,

где, ω_0=√(k/m) – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе

24. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид

или

Из формулы (1) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω0t+φ) с циклической частотой

и периодом

Формула (3) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (2) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна

2. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (4) запишем как

или

Принимая

получим уравнение

идентичное с (1), решение которого (1) найдем и запишем как:

Из формулы (6) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 и периодом

где введена величина L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 1). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' имеют свойство взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника. 3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

где l — длина маятника. Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника

Сопоставляя формулы (7) и (9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

23. При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела w:

(Скорость тела v = ds/dt)

Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

1. Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:

2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника.

3. Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на  (на полпериода). Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная - минимума (нуля) и наоборот. Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.

Сравнивая эти формулы, можно сделать следующие выводы:

1. Полная энергия в контуре остается неизменной:

2. Частота колебаний энергий в 2 раза превосходит частоту колебаний заряда и тока в контуре.

3. Электрическая и магнитная энергии сдвинуты по фазе на полпериода друг относительно друга; происходит непрерывное перекачивание энергии из одной формы в другую и обратно.

Поскольку в контуре происходят колебания электрической и магнитной энергий, электрический колебательный контур также называют электромагнитным.