12.Коэффициент детерминации. Роль коэффициента детерминации при определении качества построенного уравнения регрессии. Формула расчёта коэффициента детерминации.

Коэффициент детерминации R² является мерой качества уравнения регрессионной модели и определяет долю дисперсии (разброса), объясняемую регрессией Y на Х, в общей дисперсии зависимой переменной Y.

Из проведенных рассуждений следует, что R² принимает значения между 0 и 1 (0  R²  1). Чем ближе R² к единице, тем теснее линейная связь между Х и Y (экспериментальные точки теснее примыкают к линии регрессии). Чем ближе R² к нулю, тем такая связь слабее. Если R² = 0, то дисперсия зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных факторов и линия регрессии (модели) должна быть параллельна оси абсцисс (Y = ).

Естественно, что для исследуемого объекта наиболее качественной будет считаться модель с наибольшим значением коэффициента детерминации R².

Заметим, что коэффициент детерминации имеет смысл рассматривать только при наличии параметра (свободного члена) в уравнении регрессионной модели.

Таким образом, коэффициент детерминации R² определяет степень тесноты статистической связи между Y и Х. Но об этом же говорит выборочный коэффициент корреляции r_xy. Рассматривая эти характеристики, можно установить, что в случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

Формула коэффициента детерминации: R²=

14. Модель множественной линейной регрессии.

Модель множественной линейной регрессии является естественным обобщением парной (однофакторной) линейной регрессионной модели. В общем случае ее теоретическое уравнение имеет вид:

где Х₁, Х₂,…, Х_m – набор независимых переменных (факторов-аргументов); b₀, b₁, …, b_m – набор (m + 1) параметров модели, подлежащих определению; ε – случайное отклонение (ошибка); Y – зависимая (объясняемая) переменная.

Для индивидуального i-го наблюдения (i = 1, 2, …, n) имеем:

или

.

Здесь b_j называется j-м теоретическим коэффициентом регрессии (частичным коэффициентом регрессии).

Аналогично случаю парной регрессии, истинные значения параметров (коэффициентов) b_j по выборочным данным получить невозможно. Поэтому для определения статистической взаимосвязи переменных Y и Х₁, Х₂, …, Х_m оценивается эмпирическое уравнение множественной регрессионной модели

в котором , – оценки соответствующих теоретических коэффициентов регрессии; е – оценка случайного отклонения ε.

Оцененное уравнение (3.4) в первую очередь должно описывать общий тренд (направление, тенденцию) изменения зависимой переменной Y. При этом необходимо иметь возможность рассчитать отклонения от этого тренда.

Для решения задачи определения оценок параметров множественной линейной регрессии по выборке объема n необходимо выполнение неравенства n  m + 1 (m – число регрессоров). В данном случае число v = n  m  1 будет называться числом степеней свободы. Отсюда для парной регрессии имеем v = n  2. Нетрудно заметить, что если число степеней свободы невелико, то и статистическая надежность оцениваемой формулы невысока. На практике принято считать, что достаточная надежность обеспечивается в том случае, когда число наблюдений по крайней мере в три раза превосходит число оцениваемых параметров k = m + 1. Обычно, статистическая значимость парной модели наблюдается при n ≥ 7.