31. Что такое гетероскедастичность? Причины и последствия гетероскедастичности.(гл 5)

на практике нередко возникают экономические ситуации, когда данное условие является неприемлемым. Например, при исследовании зависимости потребления от дохода вполне реалистично считать, что с ростом дохода растет среднее значение потребления. Кроме того, следует ожидать, что разброс в потреблении будет более существенным для субъектов с большим уровнем дохода, так как люди с большим доходом имеют больший простор для его распределения. Это означает, что дисперсия потребления не остается постоянной, а изменяется (увеличивается) с ростом дохода. Приведенный пример характеризует ситуацию, когда дисперсии зависимых величин, а, следовательно, и случайных отклонений не постоянны. Это явление в эконометрике называется гетероскедастичностью (в отличие от гомоскедастичности – постоянства дисперсии отклонений).

В целом, прежде чем сделать вывод о возможности практического использования построенной регрессионной модели, необходимо установить наличие или отсутствие гетероскедастичности в каждом конкретном случае. При обнаружении гетероскедастичности далее решается задача по устранению или уменьшению влияния этого нежелательного эффекта.

Причины.

Второе условие Гаусса–Маркова о гомоскедастичности, то есть равноизменчивости остатков – это одно из важнейших предпосылок МНК.

Эти квадраты остатков входят в ESS (которая минимизируется в МНК) с одинаковыми единичными весами, а это не всегда правомерно, так как на практике гетероскедастичность не так уж редко встречается.

Точка на диаграмме рассеяния, полученная из наблюдения с меньшей дисперсией, более точно определяет направление линии регрессии, чем точка из наблюдения с большей дисперсией.

Последствия гетероскедастичности таковы:

1. Оценки параметров не будут эффективными, то есть не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками; при этом они будут оставаться несмещенными.

2. Дисперсии оценок будут смещены, так как будет смещена дисперсия на одну степень свободы   которая используется при вычислении оценок дисперсий всех коэффициентов.

3. Выводы, получаемые на основе завышенных F- и t-статистик, и интервальные оценки будут ненадёжны.

36. Тесты на определение наличия гетероскедастичности.

Тест Голдфелда –Квандта

Все наблюдения выстраиваются в порядке возрастания факторов, c средних наблюдений отбрасываются

Для каждой части, оставшейся после отбрасывания строится та же модель регрессии такого же типа, что и исходная. Для каждой половинки вычисляется сумма квадратов остатков

Если F больше F k1,k2,альфа k= , то предположение о гомоскедастичности остатков отвергается и это плохо.

Тест Спирмена

Наличие гетероскедастичности в остатках регрессии можно проверить и с помощью ранговой корреляции Спирмэна. Суть проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки e_i коррелированны со значениями фактора x_i. Эту корреляцию можно измерять с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмэна (1.10):

где d – абсолютная разность между рангами значений x_i и ½e_i½.

Статистическую значимость r можно оценить с помощью t-критерия:

.

Принято считать, что если t_r > t_a, то корреляция между e_i и x_i статистически значима, т.е. имеет место гетероскедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

37. Метод взвешенных наименьших квадратов.

В некоторых случаях при проведении регрессионного анализа желательно использовать различные веса наблюдений и вычислить оценки коэффициентов регрессии по методу взвешенных наименьших квадратов. 

Этот метод обычно применяется, когда дисперсия остатков неоднородна при различных значениях независимых переменных. 

Можно использовать веса, равные единица на дисперсию остатков и вычислить оценки по методу взвешенных наименьших квадратов. 

(На практике эти дисперсии обычно не известны, однако они часто пропорциональны значениям независимых переменных, и это пропорциональность может быть использована для вычисления подходящих весов наблюдений.) 

Рассчитанные значения параметров математической модели являются случайными величинами, имеющими распределение Стьюдента с числом степеней свободы равным, как и для дисперсии зависимой переменной,          f = N∙(m-1).

Дисперсии параметров математической модели могут быть найдены как диагональные элементы матрицы дисперсий-ковариаций , умноженной на дисперсию зависимой величины:

Недиагональные элементы этой матрицы - ковариации – есть количественная мера взаимной зависимости определяемых коэффициентов регрессии. Для линейно-независимых параметров ковариации равны нулю.

Для рассмотренной нами в качестве примера линейной зависимости дисперсии параметров принимают вид:

        ,

число степеней свободы совпадает с числом степеней свободы дисперсии зависимой переменной.

Интервальная оценка параметров модели может быть получена умножением среднеквадратичного отклонения параметра на коэффициент Стьюдента для выбранной доверительной вероятности:

 , u = 0, 1, …, l

Сравнивая рассчитанный доверительный интервал по модулю со значением самого параметра можно проверить гипотезу значимости коэффициента регрессии. Если доверительный интервал окажется по модулю больше значения параметра, то нельзя статистически надежно утверждать, что данный параметр значимо отличается от нуля. Данный параметр (и соответствующее ему слагаемое) можно исключить из модели .

Последней стадией статистической обработки рассчитанного уравнения регрессии является проверка адекватности полученного уравнения экспериментальным данным. Для этого по критерию Фишера сравниваются дисперсия воспроизводимости зависимой переменной  s²(y) и дисперсия адекватности, рассчитываемая как частное остаточной суммы квадратов

и числа степеней свободы f_R = N – l, где N – число экспериментальных точек определения зависимой переменной, а l – количество значимых коэффициентов регрессии.

Если для выбранного уровня значимости дисперсии одинаковы, то регрессионное уравнение адекватно описывает экспериментальные данные.