30. В чем суть теста Чоу проверки структурной однородности модели. Тест Грегори Чоу
В том случае, когда фиктивная переменная действует на коэффициент при объясняющей переменной, линия модели отличается от той, которая была до уровня х0, что соответствует разбиению выборочных данных на две части (группы) и рассмотрению отдельных уравнений регрессии по каждой выборке (подвыборке).
В практических исследованиях достаточно часто возникает вопрос, имеет ли смысл разбивать выборку на части и строить так называемою кусочно-линейную модель с фиктивными переменными или ограничиться «обыкновенной» общей регрессией для всего диапазона точек наблюдений?
Для
ответа на этот вопрос обычно используется
тест (критерий) Грегори Чоу [1,28], суть
которого заключается в следующем. Пусть
общая выборка имеет объем n Через S0
обозначим сумму квадратов отклонений
выборочных данных от их модельных
оценок, полученных по общему уравнению
регрессии. Разобьем выборку на две
подвыборки объемами n1 и n2 соответственно
(n1 + n2 = n). Будем считать, что для каждой
подвыборки можно построить уравнения
регрессии одного вида, но с разными
коэффициентами b. Через
и
обозначим соответствующие суммы
квадратов отклонений. Далее рассмотрим
некоторые соотношения.
Очевидно, что равенство S0 = S1 + S2 выполняется лишь при совпадении коэффициентов регрессии для всех трех уравнений. Тогда отклонение S0 (S1 + S2) может быть использовано как показатель улучшения качества модели при разбиении интервала наблюдений на две подвыброки, так как чем сильнее различие в поведении Y для каждой из подвыборок, тем больше значение S0 будет превосходить сумму S1 + S2. Следовательно, отношение [S0 (S1 + S2)]/(m + 1) будет определять оценку уменьшения дисперсии регрессии за счет построения двух уравнений вместо одного.
При разбиении общей выборки число степеней свободы сократится на (m + 1), т. к. теперь вместо (m + 1) параметра объединенной регрессионной модели необходимо оценивать (2m + 2) коэффициента двух регрессий. В данном случае соотношение (S1 + S2)/(n 2m 2) выражает необъясненную дисперсию зависимой переменной при рассмотрении двух регрессий.
Приведенные выше рассуждения позволяют сделать вывод о том, что общую выборку целесообразно разбивать на два интервала только в том случае, если соответствующее уменьшение дисперсии будет значимо больше оставшейся необъясненной дисперсии. Этот вывод может быть основан на стандартной процедуре сравнения дисперсий на основе F-статистики, наблюдаемое значение которой для данного анализа имеет вид:
где m число количественных объясняющих переменных в уравнениях регрессии (m одинаково для всех трех уравнений модели).
Если Fнабл < Fкр при заданном уровне значимости и соответствующих числах степеней свободы v1 = m + 1 и v2 = n 2m 2, то можно считать, что различие между S0 и S1 + S2 статистически незначимо и нет смысла разбивать уравнение модели на части путем введения фиктивных переменных. Следует заметить, что фактически мы тестируем гипотезу Н0 о равенстве коэффициентов b уравнений регрессии, построенных по каждой подвыборке. Если нулевая гипотеза Н0 верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну, построенную по выборке объема n = n1 + n2.