2. Спецификация модели и метод выбора парной регрессии

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными

—у и х, т.е. модель вида

, где у — результативный признак; х - признак-фактор.

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного

признака с двумя и большим числом факторов, т. е. модель вида

Специ­фикация модели - формулировка вида модели, исходя из

со­ответствующей теории связи между переменными. В урав­нении регрессии

корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной

связи, выраженной соответствующей математической функцией.

где y_j — фактическое значение результативного признака;

y_xj -теоретическое значение результативного признака.

— случайная

величина, характеризующая отклонения реального значения результативного

признака от теоретического.

В парной регрессии выбор вида математической функции

может быть осуществлен тремя методами: графическим, аналитическим и

экспериментальным.

Графи­ческий метод основан на поле корреляции. Аналитический метод основан

на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Экспериментальный метод осуществляется путем сравнения величины остаточной

дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Если фактические

значения результативного признака совпадают с теоретическими у =

, то D_ocm =0. Если имеют место отклонения фактических

данных от теоретических (у —

) то .

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше уравнение регрессии

подходит к исходным данным. Число наблюдений должно в 6 — 7 раз превышать

число рассчитывае­мых параметров при переменной х.

3. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением :

yt = a0 + a1 х1t +...+ an хnt + εt .

Исходными данными при оценке параметров a0 , a1 ,..., an является вектор значений зависимой переменной y = (y1 , y2 , ... , yT )' и матрица значений независимых переменных,

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

4. Свойства оценок метода наименьших квадратов

Свойства оценок МНК определяются предположениями относительно свойств случайного возмущения в модели наблюдений. Эти предположения обычно называются условиями Гаусса – Маркова.

Условия Гаусса-Маркова:

1.  – условие, гарантирующее несмещённость оценок МНК.

2.  – условие гомоскедастичности, его нарушение приводит к проблеме гетероскедастичности.

3.  – условие отсутствия автокорреляции предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Если данное условие не выполняется, то в модели возникает проблема автокорреляции случайных возмущений.

4.  для всех   условие независимости случайного возмущения и объясняющей переменной. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.

Достаточно часто накладывают ещё одно условие на остатки модели, но данное условие не является условием Гаусса-Маркова:  , оно очень полезно для проверки многих гипотез.

Свойства оценок, полученных с помощью МНК:

1. Линейность оценок – оценки параметров   и   представляют собой линейные комбинации наблюдаемых значений объясняемой переменной  .

2. Несмещённость оценок:

3. Состоятельность оценок:

4. Эффективность – данное свойство означает, что оценка имеет минимальную дисперсию в заданном классе оценок:

Теорема Гаусса-Маркова: если выполнены условия Гаусса-Маркова, тогда оценки  , полученные с помощью метода наименьших квадратов, являются линейными, несмещёнными, эффективными и состоятельными оценками.