3.3 Риск-модели информационно-психологических воздействий на пользователей социальных информационных сетей

Для описания рассматриваемой атаки введем основные определения.

Под ущербом в случае информационно-психологического воздействия (ИПВ) следует понимать количество субъектов, поддавшихся этому воздействию. Современная техника опросов позволяет приближенно оценить этот процент, который, зависит от многих факторов : искусства применения методик воздействия, его интенсивности и продолжительности, характера внушаемой информации, психологического состояния и общей информированности объекта, его пола и возраста. Социологические опросы [75], в которых пропорционально представлены все слои населения, дают следующий процент лиц, поддающихся внушению: до 30-40% всего взрослого населения. Таким образом, под u_i – ущерб от атаки на i-ый ресурс СИС, следует понимать среднее количество людей, поддавшихся внушению от просмотра информации, используемой для проведения ИПВ.

Отсюда в результате успешного размещения информации на k атакованных самых посещаемых ресурсах СИС, ущерб будет определяться [93] следующим образом:

, (3.3.1)

где:

- коэффициент, характеризующий восприимчивость посетителей сайтов СИС к вредоносной информации;

-время нахождения пользователя, на i-ом ресурсе за рассматриваемый период времени;

-частота посещений i-го ресурса СИС за рассматриваемый промежуток времени;

- время размещения вредоносной информации на i-ом ресурсе СИС;

- время нейтрализации (удаления) вредоносной информации с i-го ресурса CИС;

- время нахождения вредоносной информации на ресурсе СИС.

Так как все множество сайтов N разбито на три группы по N₁, N₂, N₃, то суммарный ущерб от k₁, k₂, k₃ – успешных атак соответственно на 1-ую, 2-ую и 3-ю группу сайтов будет равен:

,

где - соответствующие средние ущербы для 1-ой, 2-ой и 3-ей группы сайтов. Расчет значений средних ущербов представлен в Приложении 1.

Отсюда можно определить среднее значение ущерба от произведенного ИПВ для каждой из i групп сайтов:

.

Будем рассматривать в качестве составляющих ущерба только ущерб от атак на наиболее посещаемые сайты. Ущерб от атак на сайты, посещаемость которых меньше минимального порога l₁, будем считать пренебрежимо малым. Тогда общий ущерб будет равен:

. (3.3.2)

Отсюда, используя выражение (3.3.2), для элементарного риска [93] можно записать:

Далее с учетом формулы (3.2.3) будем использовать общую вероятность в формуле риска в общем виде:

Далее найдем выражение для среднего риска:

Произведем замену . Отсюда средний риск будет равен:

. (3.3.3)

Так как максимальный ущерб , то ущерб нормированный по максимальному [57] будет равен:

.

Определим значение риска, нормированного по максимальному ущербу:

Затем найдем значение риска, нормированного по матожиданию риска:

(3.3.4)

Исходя из вышеизложенного, запишем аналитические выражения для абсолютного Е_абс и относительного Е_отн показателя защищенности [57]:

Для удобства пользования сведем полученные выражения в табл. 3.4.

Таблица 3.4 – Аналитические выражения для расчета параметров риска и защищенности

Наименование параметров	Аналитические выражения параметров
Риск
Мат ожидание риска
Абсолютный показатель защищенности
Относительный показатель защищенности

Далее найдем моду распределения вероятности и наиболее вероятный ущерб. Мода определяется из решения следующей системы неравенств (из определения моды):

Аналитически решить в общем виде данную систему относительно параметра k₁ и k₂ невозможно, поэтому воспользуемся приближенной оценкой моды риска.

Распределение вероятности наступления ущерба от размещения информации представляет собой сумму произведения вероятности, которая распределена по закону дискретного аналога гамма распределения, и суммы произведения трех вероятностей одна из которых распределена по полиномиальному закону распределения, а две другие по биномиальному закону. Рассмотрим каждое из этих распределений в отдельности и оценим возможные значения произведений данных распределений при различных значениях k₁ и k₂.

Первоначально найдем максимум распределения , при n=const. Для этого сперва найдем моду полиномиального распределения , решив систему уравнений:

Для m₁ имеем:

или (3.3.5)

В свою очередь для m₂ можно записать:

или (3.3.6)

Составим систему из полученных двойных неравенств (3.3.5) и (3.3.6) для m₁ и m₂ соответственно:

Нетрудно заметить, что решение данной системы лежит в окрестностях точки с координатами (np₁; np₂).

Общий вид полиномиального распределения представлен на рис. 3.1 и имеет максимум в окрестности точки с координатами и :

Рис. 3.1 - Общий вид полиномиального распределения

Теперь рассмотрим биномиальное распределение: . Мода биномиального распределения находится в непосредственной окрестности матожидания [57]. Его матожидание можно найти путем определения целой части:

.

Таким образом само распределение имеет максимум в окрестности точки , то есть для первой и второй группы - , соответственно. Общий вид биномиального распределения представлен на рис. 3.2 :

Рис. 3.2 - Общий вид биномиального распределения

Так как суммирование проводится по параметру m_i = const, то найдем обратную зависимость , максимум которой будет находиться в окрестности точки , то есть для первой и второй группы имеем , соответственно.

Максимальное значение произведения двух унимодальных функций будет достигаться, если точки их максимумов совпадают [93] – это иллюстрируют рисунки 3.3 и 3.4, на которых представлены функции с совпадающими и не совпадающими максимумами, а также их произведения:

Рис. 3.3 - График произведения функций, максимумы которых не совпадают

Рис. 3.4 - График произведения функций, максимумы которых совпадают

Обоснование данного положения следует из того, что наибольшие значения члены суммы будут достигать в случае совпадения максимумов.

При перемножении данной зависимости и полиномиального распределения максимум будет достигаться в том случае, когда , или:

,

Когда же максимумы не совпадают, члены суммы достигать максимальных значений не будут и величина произведения уменьшается.

Отсюда получаем, что максимум распределения , будет находиться в окрестности точки, с координатами:

, . (3.3.7)

Теперь мы можем найти максимум распределения вероятности наступления ущерба от размещения информации . Для этого сначала рассмотрим пронормированный дискретный аналог гамма распределения, который имеет следующий вид:

.

Рассчитаем моду распределения вероятности атаки ровно n сайтов:

или

Сделав замену z= , имеем . Тогда максимум пронормированного дискретный аналог гамма распределения будет в точке

, где z= , но так как распределение усеченное, то максимум будет находится в окрестностях точки N, если . Поэтому моду усеченного гамма распределения можно записать в виде , где z= . Это иллюстрирует рисунок 3.5.

Рис. 3.5 - Мода усеченного дискретного гамма распределения

Так как суммирование проводится по параметру n= const, то для полиномиального распределения для получения максимального значения суммы следует подставить такие значения k₁ и k₂, при которых формула полиномиального распределения как функции n достигает максимума в точке h₀.

В (3.3.7) зафиксируем , тогда рассматриваемый максимум будет достигаться в точке , приравнивая его h₀ получим . Аналогично, получим выражение для , .

Отсюда мода распределения будет находиться в окрестности точки с координатами:

Тогда наиболее вероятный ущерб будет равен:

.

Далее рассчитаем моду и пик риска. Мода определяется из решения следующей системы неравенств:

. (3.3.8)

Определение моды риска может быть выполнено согласно вышеприведенной схеме для поиска моды распределения, но в отличие от предыдущего расчета, теперь вначале необходимо определить точку максимума выражения:

. (3.3.9)

Для упрощения расчета заменим биномиальное распределение согласно локальной теореме Муавра Лапласа на выражение:

.

В итоге задача сводится к нахождению максимума функции 2х переменных x₁ и x₂:

.

Возьмем производную по каждой из переменных. Для переменной x₁:

или . (3.3.10)

Для x₂ значение производной будет равно:

или . (3.3.11)

Разделив выражение (3.3.10) на выражение (3.3.11) имеем:

. (3.3.12)

Найдем переменную X₁:

.

Сделаем замену , тогда:

;

;

.

Возьмем только положительное значение, так как очевидно, что максимум функции должен отличаться от точки максимума биномиального распределения в большую сторону

Нетрудно заметить, что величина поправки не превышает единицы.

Вернемся к замене:

.

Ввиду симметрии исходной функции по переменным, решение для x₂ записывается сразу:

.

Таким образом, искомая точка максимума будет находится в окрестностях точки с координатами и . Видно, что смещение точки максимума для риска происходит не более, чем на 1 по отношению к точке максимума распределения вероятности.

Аналогично расчета для поиска моды распределения вероятности мы имеем, что мода полиномиального распределения будет расположена в окрестностях точки с координатами с координатами и .

Так как максимальное значение произведения 2-х унимодальных функций будет достигаться, если точки их максимумов совпадают, то произведение полиномиального распределения на выражение (3.3.9) будет в окрестностях точки с координатами:

, . (3.3.10)

Из расчета моды распределения вероятности известно, что мода усеченного гамма распределения равна , где z= .

Теперь можно найти моду риска размещения вредоносной информации на сайтах СИС.

Так как суммирование проводится по параметру, n= const, то в отношении полиномиального распределения для получения максимального значения суммы следует подставить такие значения k₁ и k₂, при которых формула полиномиального распределения как функции n достигает максимума в точке h₀.

В выражениях (3.3.10) зафиксируем , тогда рассматриваемый максимум будет достигаться в точке , приравнивая его h₀ получим . Аналогично, получим выражение для , .

Отсюда следует, что мода риска будет находиться в окрестности точки с координатами:

, ,

где как это было показано выше.

В результате имеем, что значение ущерба, при котором имеет место быть пик риска, будет равно:

Тогда максимальный риск будет находиться по формуле:

.

Зная моду и пик риск от ИПВ на пользователей СИС, в дальнейшем мы сможем перейти к управлению рисками, в частности к расчету динамики движения рисков возникновения ущербов от размещения информации на сайтах СИС.

Пример:

Исходя из вышесказанного очевидно, что пик риска будет достигаться при , , и будет определяться из выражения ([ ] целая часть от значения):

Ниже представлена графически зависимость пика риска от параметров p и a при различных количествах сайтов в каждой из групп, на которое разбито все множество сайтов.

При значении параметра l₁=0.01, l₂=0.04 количество сайтов в каждой из рассматриваемых а) N₁=5, N₂=7, б) N₁=12, N₂=7, в) N₁=5, N₂=14 и общем количестве сайтов N=20 (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 - Зависимость пика риска от изменения параметров масштаба p и a при а) n_0.н.в=12, u₁=1, u₂=1, N₁=5, N₂=7, N=20. б) n_0.н.в=12, u₁=1, u₂=1, N₁=12, N₂=7, N=20. в) n_0.н.в=12, u₁=1, u₂=1, N₁=5, N₂=14, N=20.