Вопрос 19.Косой изгиб. Условия прочности.

При косом изгибе действующие внешние силы (моменты) представляют их проекциями на главные оси поперечного сечения (рис. 7.1, б), тем самым сводят задачу к случаю поперечного изгиба в двух главных плоскостях. Из рис. 7.1, а, б видно, что:

Изгибающие моменты в расчетном сечении:

При выбранном направлении главных центральных осей инерции положительным октантом будет первый октант (на рис. 7.1, а, б заштрихован).

Нулевая линия – это геометрическое место точек поперечного сечения стержня, в которыхнормальные напряжения равны нулю.

Из определения нейтральной линии легко находится положение нейтральной линии, приравнивая правую часть выражения  к нулю:  ,

.

Обозначив через  угол наклона нулевой линии к оси x и  , придем к уравнению нулевой линии:  .

Из анализа уравнения, нулевая линия при косом изгибе не проходит перпендикулярно к силовой линии (рис. 9.2). Угол между нейтральной и силовой линиями будет прямым, только если главные центральные моменты инерции равны ( ), но это не прямой изгиб!

Косой изгиб невозможен для балок с сечениями, у которых все центральные оси являются главными (например, квадрат, круг).

Правило знаков. Изгибающие моменты в расчетном поперечном сечении считаются положительными, если они вызывают в первом (заштрихованном) октанте напряжения растяжения.

Нормальные напряжения в точках поперечного сечения с текущими координатами х, у определяются алгебраической суммой напряжений, вызываемых изгибающими моментами М_x и М_y:

где J_x и J_y — моменты инерции поперечного сечения относительно главных, центральных осей инерции сечения X, Y, т. е. изменяются по линейному закону. Уравнение нейтральной (нулевой) линии в сечении найдем, приравняв 

Ответы совпали.

При х = 0 значение у = 0, т. е. прямая с угловым коэффициентом k проходит через центр тяжести поперечного сечения.

При косом изгибе нейтральная линия представляет собой прямую, которая не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента , или, что одно и то же, к силовой линии.

Силовая линия наклонена к оси X под углом а, следовательно, ее угловой коэффициент равен:

Угловой коэффициент нейтральной линии:

Так как в общем случае J_x не равно J_y, то и k₁ не равно — 1/k, следовательно, нулевая длина не перпендикулярна силовой линии, а повернута в сторону главной оси минимального момента инерции.

Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на две зоны:

в которой действуют только напряжения растяжения;

в которой действуют только напряжения сжатия. Первый (заштрихованный) квадрант (рис 7.1, а) находится всегда в зоне действия напряжений растяжения. Максимальные по величине нормальные напряжения находятся в точках поперечного сечения максимально удаленных от нейтральной оси.

Максимальные по величине напряжения растяжения возникают в точке А с координатами X_a, Y_л, а максимальные напряжения сжатия возникают в точке В с координатами X_В, Y_В (рис. 7.1, в):

Получим эпюру нормальных напряжений в расчетном сечении (7.1, в).

Условие прочности. Если материал стержня одинаково работает на растяжение и на сжатие, то условие прочности записывается в виде:

Если материал стержня работает на растяжение и на сжатие не одинаково, то расчет проводится раздельно, т. е. проверяются условия прочности:

Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии:

где W_x, W_y — момент сопротивления поперечного сечения относительно главных, центральных осей инерции X, Y.

Прогибы при косом изгибе. Прогиб конца консоли от действия Р_x направлен по оси X и равен:

Прогиб от действия Р_y направлен по оси Y и равен:

Модуль полного прогиба конца консоли

Угол наклона вектора f к оси X

т. е. угловой коэффициент

перемножив k на k₂ получим:

что свидетельствует о том, что нулевая линия и направление полного прогиба взаимно