Из которой найдем требуемые параметры

. (8.20)

Пример 8.12. Ежемесячная прибыль фабрики "Восток" в первом полугодии 2003 г. по месяцам представлена следующим временным рядом:

y1	y2	y3	y4	y5	y6
6	4	7	9	8	12.

Визуальный анализ временного ряда показывает, что он имеет тенденцию в среднем, в виде тренда. Опишем данный тренд с помощью линейной трендовой модели: . Чтобы рассчитать параметры по формулам (8.20), проведем промежуточный расчет с помощью табл.8.5.

Таблица 8.5

1 2 3 4 5 6	6 4 7 9 8 12	1 4 9 16 25 36	6 8 21 36 40 72
21	46	91	183

По данным итоговой строки табл.8.5 с помощью формул (8.20) определим параметры линейной трендовой модели:

;

.

Таким образом, линейная трендовая модель примет следующий вид: .

Аналогичным образом находятся и параметры параболы второго порядка.

Степенная трендовая модель используется тогда, когда темпы роста в среднем постепенно убывают при a₁>0 или постепенно возрастают при a₁<0. Определить параметры степенной трендовой модели непосредственно с помощью МНК нельзя, так как эта модель является нелинейной. Чтобы обойти это препятствие, осуществим линеаризацию модели с помощью логарифмирования, в результате чего модель примет следующий вид: (для логарифмирования можно применять как десятичный, так и натуральный логарифм). По новой форме степенной трендовой модели составим систему линейных уравнений

(8.21)

решив которую найдем требуемые параметры:

. (8.22)

Как видно из формулы (8.22), мы находим не a₀, а lna₀ . Чтобы найти а₀, необходимо выражение lna₀ пропотенцировать, т.е. найти антилогарифм. Для этого могут быть использованы различные математические справочники, калькуляторы, Excel и т.д.

Пример 8.13. Приведенный выше временной ряд (см. пример 8.12), описанный линейной трендовой моделью, теперь опишем с помощью степенной трендовой модели . Для расчета параметров по формулам (8.22) используем табл.8.6.

Таблица 8.6

t	y	lnt	lny	(lnt)2	lnylnt
1 2 3 4 5 6	6 4 7 9 8 12	0,000 0,693 1,099 1,386 1,609 1,792	1,792 1,386 1,946 2,197 2,079 2,485	0,000 0,480 1,208 1,921 2,589 3,211	0,000 0,960 2,139 3,045 3,345 4,453
–	–	6,579	11,885	9,409	13,942

По данным итоговой строки табл.8.6 с помощью формул (8.22) рассчитаем параметры линеаризиро-ванной степенной трендовой модели:

.

Пропотенцируем значение lna₀, в результате чего получим а₀ =4,595, и тогда выбранная степенная трендовая модель, которая описывает исходный временной ряд, примет следующий вид: . Аналогичным образом находятся и параметры показательной трендовой модели .

Отметим еще раз, что визуально невозможно точно определить тип трендовой модели. Поэтому необходимо подобрать две, три модели, которые, по мнению исследователя, близки к реальному виду тренда временного ряда. Чтобы определить, какая из выбранных исследователем моделей тренда наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд, можно использовать критерий наименьшей суммы квадратов разностей

. (8.23)

Для этого для каждой выбранной модели тренда по формуле (8.23) определим критерий наименьшей суммы квадратов разностей. Тот тренд, у которого критерий наименьший, будет наилучшим образом аппроксимировать исходный временной ряд.

Проверим, какая из рассмотренных выше моделей тренда − линейная ( ) или степенная ( ) − наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд.

Для этого проведем промежуточные расчеты с помощью табл.8.7, где y_t – исходный временной ряд, − данные линейного тренда, – данные степенного тренда.

Сравнивая критерий для линейного тренда – S_л (итог графы 4) с критерием для степенного тренда – S_с (итог графы 6) можно сделать вывод: линейная трендовая модель лучше аппроксимирует исходный временной ряд,

Таблица 8.7

t	yt
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6	6 4 7 9 8 12	4,524 5,781 7,038 8,295 9,552 10,809	2,179 3,172 0,001 0,497 2,409 1,418	4,595 6,131 7,257 8,18 8,975 9,683	1,974 4,541 0,066 0,672 0,951 5,368
–	–	–	9,676	–	13,572

так как S_л<S_с (9,676<13,572). Таким образом, для дальнейших исследований мы можем использовать линейный тренд.