12.Линейные операторы. Ядро, матрица, характеристическое уравнение линейного оператора Собственные значения и собственные векторы операторов.

инейные операторы.[править]

Оператор   называется линейным, если:

1. 

2. 

 - нулевой оператор.

 -тождественный оператор.

 - сумма двух операторов.

 - степень оператора.

 - умножение операторов.

Матрица линейного оператора.[править]

Возьмём базис   в X,\,   базис в Y.

Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:

Матрица оператора 

Утверждение. Если матрица   осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А.

Ядром линейного оператора называется множество элементов из  , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают  :  . Ядро линейного оператора   линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается :  .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве  , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:  ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей  , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

Уравнение   называется характеристическим уравнением¹²⁾ оператора  .

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования   вещественного линейного пространства   следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис   линейного пространства   и найти в этом базисе матрицу   преобразования  .

2. Составить характеристический многочлен преобразования  .

3. Найти все различные действительные корни   характеристического уравнения  . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня   найти фундаментальную систему   решений однородной системы уравнений  , где  . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования  , отвечающие собственному значению 

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению  , образовать ненулевые линейные комбинации

где   — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений   линейного преобразования  .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.