4. Ранг матрицы. Способы нахождения.
Максимальное число линейно-зависимых строк матрицы A наз. рангом матрицы и обознач r(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз рангом матрицы.
Свойства:
1)при транспонировании матрицы ее ранг не меняется
2)если вычеркнуть нулевой ряд, то rang не изменится
3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.
4)ранг треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав. диагоналях.
Методы нахождения ранга матрицы:
метод окаймляющих миноров
метод элементарных преобразований
метод окаймляющих миноров:
метод окаймляющих миноров позволяет алгоритмизировать процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.
если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0
если есть хоть один ненулевой элемент => r(a)>0
теперь будем окаймлять минор М1, т.е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.
М2 (i, i1, j.j1)
Дальше аналогично строим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2 (минор), до тех пор, пока не получим минор, отличный от нуля.
Процесс будет продолжаться до одного из событий: 1. размер минора достигнет числа к.
на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.
В обоих случаях величина ранга-матрицы будет равна порядку большего отличного от нуля минора.
Метод элементарных преобразований: как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.
Теорема о базисном миноре. Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.
5. Невырожденные системы слау. Способы решения.
СЛАУ принято записывать в матричной форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.
Система
уравнений (СУ), содерж m-уравнений
и n-неизвестных
наз. системой
вида
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
… aM1x1+aM2x2+…+aMnxn=bm,
где aij
– коэф системы и изменяется от 1 до n.
Расширенной
матрицей
наз матрица, сост из исходной матрицы
А и свободных .
Теорема Кронекера-Капелли:
система лин алг ур-ий совместна, когда
rangA=rang
(волнистая).
Теорема:
если rang
совместной системы= числу неизвестных,
то система имеет одно решение. Теорема:
если ранг совмест сист < числа
неизвестных, то система имеет бесконеч
решений.
Правило решения СУ.
1)найти ранг основной и расширенной матрицы (если rA не =rA с крыш, то система несовместна.
2) если rA=rA с крыш и =r, то система совместна и надо найти базисный минор порядка r.
3)Берём r ур-ий из коэф которых составлен базисн минор. Остальные ур-ия отбрасываем. Неизвестные, коэф которых входят в минор наз главными. Из оставл слева, а остальные (n-r) – справа.
4)Найти выражения главных неизв через свободные. Получено общее решение системы
5)Придавая свободным низвестным произвольное значение, получим соотв значения главн неизв, т.е. найдём частные решения.
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений.
АХ=В – система и параллельно рассмотрим систему АХ=0. (АХ=В – Неоднородн. СЛАУ, АХ=0 – однородн. СЛАУ).
Одновременно выполняется:
1. АХ=0 имеет тольок тривиальное решение, АХ=В имеет единственное решение или не имеет решений совсем.
2. АХ=0 имеет нетривиальное решение, АХ=В имеет бесконечное число решений.
Рассмотрим подробнее 2-ой случай: r(A) = r(A с волной сверху)<m..
M – r(A) – дефект, количество свободных неизвестных.
Пример:
,
б.м: х1, х2
св.м: х3, х4.
х2 + х3 +2х4 = 1., х2 = 1 – а – 2b, х3 = а, х4 = b.
х1 = -2х2 – х3 + х4 + 1 = -2 + 2а +4b – а + b+1 = -1 + а + 5b.
Ответ: (-1 + а + 5b., 1 – а – 2b , а, b)Т.
Хо – общее решение ОСЛАУ
Х (с волной) – общее решение НСЛАУ
6.
Решение невырожденных СЛАУ матричным методом:
Метод Гаусса Х=А-1*В
А-1=
Теорема: (Крамера): решение невырожденных уравнений АХ=В, можно записать так:
,
Ак получается из А путем замены к-го
столбца на столбец свободного члена
В.
Формулы Крамера:
X1=определитель1/определитель общий