42.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Правило
Лопиталя (по раскрытию неопределенностей
вида 0/0) :
Пусть функции
f(x)
и
непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки
и обращаются в ноль в этой точке: f(
)=
.
Пусть
в окрестности точки
.
Если существует предел
,
то
.
Правило
Лопиталя (по раскрытию неопределенностей
вида
)
: Пусть
функции f(x)
и
непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки
(кроме, может быть, точки
),
в этой окрестности
.
Если существует предел
.
43.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в форме Лангранжа. Представление по формуле Маклорена функций: ех, sinx, cosx, , .
Формула Тейлора
(Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора).
статочный член формулы Тейлора
В форме Лагранжа:
В форме Пеано:
при 
Представление по формуле Маклорена
44.Монотонные функции. Условия монотонности функции.
Теорема(необходимые
условия).
Если дифференцируемая на интервале
(a,b)
функция f(x)
возрастает (убывает), то
для любых
.
Док-во. Пусть
функция f(x)
возрастает на интервале (a,b).
Возьмем произвольные точки х и х +
на интервале (a,b)
и рассмотрим отношение
.
Функция f(x)
возрастает, поэтому если
>0,
то x+
>x
и f(x+
)>f(x);
если
<0,
то x+
>x
и f(x+
)<f(x).
В обоих случаях
>0,
так как числитель и знаменатель дроби
имеют одинаковые знаки. По условию
теоремы функция f(x)
имеет производную в точке x
и является пределом рассматриваемого
отношения. Следовательно,
.
Аналогично рассматриваем тот случай,
когда функция f(x)
убывает на интервале (a,b).
Данная теорема означает, что касательные
к графику возрастающей дифференцируемой
функции образуют острые углы с
положительным направлением оси Ox
или в некоторых точках параллельны оси
Ox.
Теорема(достаточные
условия).
Если функция f(x)
дифференцируема на интервале (a,b)
и
для
,
то эта функция возрастает (убывает) на
интервале (a,b).
Док-во. Пусть
.
Возьмем точки
и
из интервала (a,b),
причем
>
.
Применим к отрезку [
,
]
теорему Лагранжа: f(
)
- f(
)=
,
где
.
По условию
.
Следовательно, f(
)
- f(
)>0
или f(
)>f(
),
т.е. функция f(x)
на интервале (a,b)
возрастает. Возрастающая или убывающая
функция называется монотонной.