38. Сравнение бесконечно малых.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:

1. если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2. если то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. если то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и .

Эквивалентные бесконечно малые:

Sinx	x, при	ex - 1	x,
tgx	x,	ax - 1	x*lna,
arcsinx	x,	ln(1+x)	x,
arctgx	x,	loga(1+x)	x*logae
1-cosx	,	(1+x)k - 1	k*x, k>0,

30.Первый и второй замечательные пределы.

первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом.

Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Доказательство:

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x< . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на >0, Получим 1<

Так как , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов .

А если x<0 => , где –x>0 =>

. Второй замечательный предел.

Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел равный e. . 1.Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому . Если , то . Поэтому: ,

. По признаку существования пределов: . 2. Пусть . Сделаем подстановку –x=t, тогда = . и называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция называется экспоненциональной, употребляется также обозначение .