Матрицы
и действия над матрицами.
Матрица - прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов.
Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц.
Матрица, в которой m=n наз квадратной или n-ого порядка.
3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 называется диагональной.
4. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной.
5. Квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0.
6. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной.
7. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rn пространства.
Действия:
Сложение – только для матриц одинакового размера.
Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач Mm*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ Mm*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n.
Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора.
Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью элементарным преобраз. любую матрицу можно привести к канонической.
Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если AT=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).
2. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.
При вычислении определителя 3го порядка пользуются правилом треугольников(или Саррюса)
Свойства определителей:
1.Определитель не изменится , если его строки заменить столбцами и наоборот.
2. При перестановке 2х параллельных рядов определитель меняет знак.
3.определитель имеющий 2 одинаковых ряда равен 0
4.общий множитель элементов какого либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
5 Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
Т2 (о разложении определителя по элементам ряда): определитель равен сумме произведения элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение.
3. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
Пусть
есть матрица А – невырожденная.
А-1, A-1*A=A*A-1=E, где E –единичная матрица. A-1 имеет те же размеры, что и A.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
вместо каждого элемента матрицы аij записываем его алгебраическое дополнение.
аij
Аij
А* - союзная матрица.
транспонируем полученную союзную матрицу. А*Т
делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.
,
A-1
=
A*Т
Теорема: (об аннулировании определителя): сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.