«Теоретики» (2 група) з різними доведеннями теореми Піфагора

1. Дано - прямокутний, C = 90° , .

Довести

Доведення

В , а в

Так як рівні ліві частини цих рівностей, то рівні і праві, отже .

Звідси, за властивістю пропорції, отримуємо:

Аналогічно, в , а в .

Так як рівні ліві частини цих рівностей, то рівні і праві, отже,

Звідси, за властивістю пропорції, отримуємо:

.

Так як то

Отримали, що

2. Нехай — довільний прямокутний трикутник, а — висота, проведена з вершини прямого кута С. Позначимо: СВ = а, AC=b, AB=c, AH=b₁, BH=a₁.

Оскільки , то , звідки

Оскільки , то , звідки

Отже, , тобто

3. Нехай — квадрат, АВ = ВС = СD = АD = с — гіпотенуза прямокутного трикутника , AL=a, BL=b. Побудуємо i . Одержимо чотири рівних прямокутних трикутники за гіпотенузою і за катетом і квадрат KLMN, бо KL=LM=MN=NK=a-b KL. Тоді площа або з другої сторони сумі площ квадрата і трикутників, т. б.

.

Що й треба було довести.

4. Дано: трикутник АВС, АС = Ь, СВ = а, АВ = с.

Довести: а²+b²=c²

Доведення:

Виконаємо добудову. АМDС — прямокутна трапеція з основами АС і МО,

Прирівнявши обидві площі, отримаємо

a²+ 2ab + b² = 2аb + с² отже а² +b² =с²

5. Розглянемо прямокутний трикутник із сторонами а, b, c та доведемо, що a²+b²=c²

Доведення. Побудуємо квадрат із стороною а + b. Його площа S=(a+b)². Добудуємо згаданий трикутник в цей квадрат так, як показано yа малюнку. З другого боку площа цього квадрата дорівнює сумі площ чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа кожного з яких і квадрата з стороною с, тому . Прирівняємо ці площі (а + b)²=2аb + с², звідки с² = а² +b².

6. Дивись!

а²+b²=c²

7. Спробуй довести!

8. Доведення Евкліда.

В Евклідових «Началах» теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай А, В, С вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом А. Опустимо перпендикуляр з точки А на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

2. Кути САВ і BAG — прямі; відповідно точки С, А і G — колінеарні. Так само В, А і Н.

3. Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

4. Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

5. Оскільки точки А, К і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF =АВ²).

6. Аналогічно міркуючи отримаємо: CKLE = ACLH = АС²

З одного боку площа СВDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата ВС², або AB²+AC²=BC².

VI. Закріплення нових знань.

1. Розв’язування усних вправ за готовими малюнками.

Вчитель. Тепер, перейшовши «ослячий місток», перейдемо до складніших задач.