11 Класс (11-летний срок обучения)

1. Перельем всю краску из первой банки в остальные. Затем перельем в первую банку по остальных банок, тогда в первой банке красок будет поровну. Перельем из второй банки все содержимое в третью и четвертую банки, а затем из них по половине банки обратно, тогда во второй банке красок будет поровну. Из третьей банки перельем все в четвертую, и там красок станет поровну.

(4 балла)

2. Пусть – решение уравнения , а . Тогда и , а поэтому точка с координатами лежит на каждом из графиков уравнений и . Наоборот, если точка принадлежит пересечению этих графиков, то и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения совпадает с числом точек пересечения графиков уравнений и , а их 16.

у

2

-2 2

0 х

-2

(8 баллов)

3. При имеем: ; число делится на 9, значит, число делится на 360. Поэтому все члены последовательности, начиная с четвертого, совпадают с . Таким образом, в последовательности только 3 положительных члена.

(6 баллов)

4. 1) Так как (см. рисунок), а отрезок есть проекция на плоскость , то (согласно теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, (признак перпендикулярности прямой и плоскости), и, кроме того, угол между скрещивающимися прямыми и равен 90⁰.

B₁ C₁

A₁ D₁

O

B

K C

A D

2) Пусть – точка пересечения прямых и . Проведем из точки перпендикуляр к прямой , тогда – искомое расстояние между скрещивающимися прямыми и .

3) Прямоугольные треугольники и подобны, следовательно, и .

(10 баллов)

5. Пусть – данная трапеция, а – искомый отрезок.

A C B

h₁ M b N

h

D a E

Тогда и ; и ; и являются подобными, поэтому ; ; .

Из первых двух равенств следует, что ; а из первого и третьего – что . Так как и получим: (если ).

(7 баллов)