8.1. Простая случайная выборка

Простая случайная выборка предполагает отбор единиц в выборочную совокупность непосредственно из всей массы еди­ниц генеральной совокупности в форме случайного отбора.

При этом каждой единице генеральной совокупности обеспечива­ется одинаковая вероятность быть выбранной. Случайный отбор осуществляется путём применения жеребьевки (лотереи) или использования таблиц случайных чисел.

Случайный отбор может быть повторным и бесповторным.

Выборочная средняя и выборочная доля являются величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку.

Следовательно, ошибка выборки также является случайной величиной и может принимать различные значения.

Средняя ошибка выборки представляет собой среднее значение из всех возможных ошибок.

Численное значение средней ошибки выборки определяется по формулам:

Вид отбора Формула ошибки	Повторный	Бесповторный
Для средней
Для доли

Предельная ошибка выборки связана с гарантирующим её уровнем вероятности. Уровень вероятности задаётся через коэффициент доверия t и наоборот. Значения коэффициента t берутся из таблицы значений функции Лапласа.

t	1	1,96	2	2,58	3
 = (t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

Предельная ошибка связана со средней ошибкой по формулам:

Используя предельную ошибку выборки, можно решать следующие задачи:

1. Найти пределы генеральной характеристики с заданной степенью надежности (доверительной вероятностью) на основе показателей, полученных по данным выборки.

Доверительный интервал для генеральной средней определяется выражением

Доверительный интервал для генеральной доли

Увеличение степени достоверности результатов требует большего значения t и увеличивает предельную ошибку. Уменьшение степени достоверности результатов приводит к меньшей предельной ошибке.

2. Определение доверительной вероятности того, что генеральная характеристика отличается от выборочного показателя не более чем на заданную величину.

Доверительная вероятность является функцией параметра . Значение этого параметра можно вычислить по заданной выборке и известной предельной ошибке. По величине t определяется доверительная вероятность как значение функции Лапласа.

3. Определение необходимого объема выборки, который с практической вероятностью обеспечивает заданную точность вы­борки.

Формулы численности случайной выборки зависят от вида отбора:

Вид отбора Численность выборки	Повторный	Бесповторный
Для средней
Для доли

Дисперсия s² может быть получена следующим образом:

1) взята из предыдущих исследований

2) если известен размах вариации, то  ≈ R / 6

3) если известно среднее значение, то  ≈ / 3

Если доля w неизвестна, то в расчётах используется максимальная величина дисперсии доли, равная 0,25.