9. Слу: решение системы, формы записи, классификация по числу решений.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

Упорядоченный набор значений   называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

 ,

где матрица   называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных;   - вектором-столбцом неизвестных,   - вектором-столбцом правых частейили свободных коэффициентов.

10. Матричные уравнения. Метод обратной матрицы решения слу.

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица   невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу   . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу   слева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу   надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

11. Метод Крамера для решения слу.

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где   - определитель матрицы системы,   - определитель матрицы системы, где вместо   -го столбца стоит столбец правых частей.

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

12. Ранг матрицы: определение, свойства.

Рангом матрицы   называется ранг её системы строк или столбцов.

Рангом системы строк называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

Обозначается 

Свойства:

1. Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительном числу.

2. Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел  и   т.е.  .

3. Для квадратной матрицы  -го порядка   только тогда, когда матрица невырожденная.

4. В случае квадратной матрицы если   то определитель матрицы равен нулю.

13. Миноры матрицы. Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору.

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор  -го порядка не равен нулю, а все миноры  -го равны нулю, то ранг матрицы будет равен   .