5. Определитель матрицы второго и третьего порядков. Вычисление определителей. Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы   второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Методы вычисления определителей третьего порядка Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус"

6. Минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение элемента матрицы. Вычисление определителя (общий подход).

Минором   к элементу   определителя  -го порядка называется определитель  -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием  -той строки и  -того столбца.

Алгебраическим дополнением   к элементу   определителя  -го порядка называется число

7. Свойства определителей матрицы.

1°    При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: 

2°    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

3°    

То есть, если квадратная матрица    -го порядка умножается на некоторое ненулевое число  , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы   на число   в степени, равной порядку матриц.

4°    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5°    Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

6°    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7°    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8°    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9°    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка   . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10°    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11°    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: 

8. Обратная матрица: определение, условие существования, методы нахождения.

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица   называется обратной к невырожденной матрице   , если  , где   - это единичная матрица соответствующего порядка.

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Если на некотором этапе в "левой" матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.