4.2.2. Задачи анализа свойств систем, решаемые на концептуальном уровне

На концептуальном уровне могут решаться задачи декомпозиции (разбиения) на подсистемы и агрегации (объединения) подсистем в систему. Эти процедуры являются неотъемлемыми элементами анализа и синтеза сложных систем, в том числе, на основе системного подхода. Основа методов декомпозиции и агрегации – мнение экспертов, специалистов предметной области.

4.2.3. Задачи, решаемые на топологическом уровне

На моделях топологического уровня могут решаться следующие основные задачи:

1) определение общих характеристик и структурных свойств системы,

2) определение эквивалентных передач на графе (сети),

3) выделение подсистем в системе.

Рассмотрим пути решения некоторых задач.

I. Определение структурных свойств системы

Определяются следующие характеристики:

Степень централизации, которая оценивает тип структуры, к которому тяготеет данный граф. Известны несколько основных типов структур (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

Структуры сложных систем управления тяготеют к структурам иерархического типа (см. рис. 4.2), рыночных хозяйственных структур – к скелетному типу.

Рис. 4.2

Количественно неравномерность загрузки элементов графа характеризуют индексами центральности. Для ненаправленного графа:

, (4.1)

где

, (4.2)

n – число вершин графа,

d_ij – длина минимального пути (при i = j длина d_ij = 0).

Для графа на рис. 4.1, а, когда все вершины инцидентны одному и тому же количеству ребер,   0. Для графа на рис. 4.1, в   1.

Для ориентированного графа индекс центральности

, (4.3)

где V(i) = v_i + vⁱ – суммарное число входящих и исходящих ребер i-й вершины, а .

Диаметр структуры оценивается максимальным числом связей, разделяющих входные и выходные элементы графа:

, (4.4)

где I – множество вершин-истоков, J – множество вершин-стоков, d_ij - минимальный путь от i к j.

Связность – наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному графу.

Реберная связность – наименьшее число ребер, которое приводит к несвязному графу.

Известны и другие характеристики: сложность, наличие контуров, петель, сильносвязных компонент, отношения касания и т.д.

II. Определение эквивалентных передач

Требуется установить эквивалентный оператор, описывающий связь от i-го узла к j-му узлу с учетом всех связей графа.

Для сигнальных графов Мезоном получено следующее соотношение:

, (4.5)

где Δ – определитель графа:

(4.6)

W_,r (r = 1,2,…) - передаточный коэффициент r-го разомкнутого контура (определяется как произведение передач входящих в контур дуг),

W_,r^. W_,p (p,r = 1, 2, …, r  p) – произведение «пар» передаточных коэффициентов некасающихся контуров, далее аналогично для «троек», «четверок» и т.д. некасающихся контуров;

P_k – передача k-го прямого пути, определяемая как произведение передаточных коэффициентов дуг, образующих путь;

Δ_k – минор k-го прямого пути (составляется аналогично определителю, но для подграфа, полученного из исходного графа при удалении узлов, принадлежащих k-му прямому пути).