3. Элементы теории графов

При изложении предыдущего материала уже были использованы модели в виде графов. Наряду с теоретико-множественным описанием моделей систем представление в виде графов является одним из наиболее распространенных.

Граф Г – геометрическая фигура, построенная на множестве вершин V = {v₁, v₂, … v_m} и ребер R = {r₁, r₂, … r_n}:

Г = (V, R). (3.1)

Если ребра ориентированы, то их называют дугами, а граф - ориентированным (орграфом). При этом вершины называются узлами.

а) б)

Рис. 3.1

Примеры использования графов для моделирования:

1. Неориентированные графы описывают (моделируют) дороги между населенными пунктами А, B, C и D (см. рис. 3.1, а).

2. Орграф описывает однонаправленные каналы передачи информации (см. рис. 3.1, б).

Дуга r_i, связанная с злом v_j, называется инцидентной этому узлу, причем, если заходит – положительно инцидентная, если выходит – отрицательно инцидентная.

Два узла v_k и v_i смежны, если им инцидентна одна дуга. Аналогично, две дуги смежны, если они инцидентны одному узлу, причем, если одна выходит, а другая заходит – последовательно смежны, в противном случае - параллельно смежны.

Дуга, выходящая из узла и в нее же заходящая, называется петлей.

Узел, из которого дуги только выходят, называется истоком, а в который только заходят – стоком. Узлы сток и исток – висячие узлы.

Две системы S₁ и S₂ с заданными на них отношениями R₁ и R₂ изоморфны, если:

1) их структурные элементы попарно взаимно однозначно соответствуют друг другу;

2) подмножество элементов А₁ системы S₁ связано отношением R₁, тогда соответствующее подмножество (см. п. 1) А₂ системы S₂ связано отношением R₂.

Существует гомоморфизм – упрощенная модель исходной системы, т.е. не выполняются какие-либо из вышеуказанных условий.

Связи в системе можно изображать двояко:

1) элементы – это вершины, а связи – дуги (вершинный граф),

2) элементы – дуги, а связи – узлы (реберный или сигнальный граф).

Структуры графов можно представить как графически, так и структурными матрицами. Известны три вида структурных матриц, изоморфных графической модели графа: матрицы смежности, инцидентности (инциденций) и структуры связей.

Матрица смежности – квадратная матрица А = {a_ij}, , где m – число узлов, т.е. А_mxm, для которой

Число единиц в матрице А равно числу дуг n.

Эта матрица обладает интересным свойством: если возвести матрицу А в k-ю степень, то каждый элемент матрицы А^k будет равен числу путей из узла v_i в узел v_j длиной в k дуг.

Путь в графе – это последовательность последовательно смежных дуг, ориентированных в одном направлении.

Пример 3.1.

Как видно (см. рис. 3.2), через две (k = 2) смежные дуги можно попасть: из вершины 1 в вершину 4, из 2 в 1, из 2 в 3, из 3 в 4, из 4 в 1 и из 4 в 2. 

Таким образом, можно алгоритмически определить, существует ли путь из v_i в v_j длиной в k дуг. Очевидно, что если число узлов m, максимальная степень k, в которую нужно возвести А для определения самого длинного пути, равна (m – 1).

Матрица инцидентности – в общем случае прямоугольная матрица В = {b_ij}, , , где m – число вершин, n – число ребер. Для орграфов:

Для неориентированных:

№№ вершин

Для примера 3.1 матрица инцидентности имеет вид:



Матрица структуры связей С = {c_ij} устанавливает отношения между дугами:

С = В^ТВ,

С – симметрическая матрица размером n x n, т.е. С_nxn, для которой

Рис. 3.3

Таким образом, матрица структуры связей содержит информацию о взаимной ориентации пар дуг графа.

Кроме этого, могут использоваться структурные матрицы, кодирующие отдельные свойства графов:

- наличие контуров (контур = замкнутый путь),

- наличие путей,

- отношения касания.

Касающимися называются пути, контуры или пути с контурами, если они содержат хотя бы один общий узел.

Сильносвязанным называется граф, в котором любой узел достижим из любого другого узла.

Достижимость – это существование пути из узла v_i в узел v_j. Например, на рис. 3.3 путь из узла 1 в узел 4 имеет вид:

узел 1  W₁  узел 2  W₂  узел 3  W₄  узел 4.

Может оказаться, что не все узлы достижимы из остальных узлов. В этом случае может быть выделен подграф Г₁, т.е. совокупность, подмножество узлов, для которого условие сильной связности выполняется. Например, граф Г (см. рис. 3.4) не сильносвязный, т.к. в узел 1 из узлов 2, 3 и 4 нет путей. Сильносвязной компонентой Г₁ для графа Г состоит из узлов 2, 3 и 4 с соответствующими дугами W₂ – W₅.

Физический смысл сильной связности – наличие обратных связей (ОС) между всеми узлами или, другими словами, взаимозависимость (взаимовлияние) всех переменных в графе.

Важность понятия «сильная связность» вытекает из того, что практически все целенаправленные системы строятся на основе принципа обратной связи, когда информация о выходных величинах (координатах) некоторого объекта используется для формирования управляющего сигнала U этим объектом.

Структура простейшей системы управления описывается графом (см. рис. 3.5), где W₁ можно интерпретировать как модель объекта управления, а W₂ – модель управляющего устройства. Узлы 1 – управление U, 2 и 4 можно интерпретировать как выходную величину объекта у, 3 (ε) –ошибка регулирования, узел 5 – задание х (желаемое значение величины у).

W₂

Рис. 3.5